[論文レビュー] Single magnon excited states of a Heisenberg spin-chain using a quantum computer

Shashank Kumar Ranu, Daniel D. Stancil|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、NISQデバイス上でパラメータ化された量子回路を用いて、ヘイゼンベルグスピン鎖における1スピン励起状態をノイズに強く、反復処理を必要としない方法で準備および推定する手法を提案する。エネルギー期待値を位相パラメータφの関数としてスキャンし、停留点（鞍点）を特定することで、古典的最適化ループを回避し、回路の深さを低減する。4サイトおよび8サイトのスピン鎖において、数値シミュレーションとIBM量子プロセッサを用いた実験で成功裏に実装され、最小限のエンタングルゲートを用いて高精度な状態準備が達成された。

ABSTRACT

Excited states of spin-chains play an important role in condensed matter physics. We present a method of calculating the single magnon excited states of the Heisenberg spin-chain that can be efficiently implemented on a quantum processor for small spin chains. Our method involves finding the stationary points of the energy vs wavenumber curve. We implement our method for 4-site and 8-site Heisenberg Hamiltonians using numerical techniques as well as using an IBM quantum processor. Finally, we give an insight into the circuit complexity and scaling of our proposed method.

研究の動機と目的

• 近い将来の量子ハードウェア上で1次元ヘイゼンベルグスピン鎖の1スピン励起状態を計算的に効率的に推定する手法を開発すること。
• VQE や SS-VQE などの既存の変分的手法が要求する深すぎる回路と古典的最適化ループの制限を克服すること。
• 標準的な相関関数推定法で用いられる時間発展演算子と制御ゲートを避けることで、回路の複雑さを低減すること。
• フィードバックループを排除するため、エネルギー対位相（φ）曲線の停留点による励起状態の直接特定を可能にすること。
• 4〜8スピンの小さなスピン鎖において、数値シミュレーションと実際のIBM量子ハードウェアの両方を用いて、この手法を検証すること。

提案手法

• 試行状態として |ψ⟩ = ∑ₙ (1/√N) e^{inφ} |n⟩ を用い、|n⟩ はサイトnにスピンが反転した状態である。
• 量子回路を用いて、異なる位相パラメータφの値におけるエネルギー期待値⟨H⟩を計算し、エネルギー対φの曲線を形成する。
• 1番目の励起状態は、⟨H⟩ 対 φ の曲線上の停留点（局所的最小値または最大値）として特定され、古典的最適化ループを回避する。
• 位相依存する振幅を符号化するために、アダマールゲート、CNOTゲート、および1キュービット回転を組み合わせてアーキテクチャを実装する。
• 8サイト鎖の場合、状態準備回路をUα(φ) と Uβ(φ) に分解するためのSVDを用いたユニタリ分解を適用し、ゲート数とエンタングルメントのオーバーヘッドを最小化する。
• 時間発展とアダマールテストを回避することで、標準的な相関関数推定法と比較してCNOTゲートおよびSWAPゲートの数を削減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘイゼンベルグスピン鎖の1スピン励起状態を、古典的最適化ループを一切用いずに推定できるか？
• RQ2 エネルギー対位相曲線を用いて、NISQデバイス上での停留点検出によって励起状態を特定できるか？
• RQ3 本手法の回路深さとゲート数は、VQE や相関関数推定法といった既存手法と比較してどの程度か？
• RQ4 実際の量子ハードウェア上で小スピン鎖に実装した際の、本手法の忠実度と精度はどの程度か？
• RQ5 本手法は、回路深さとノイズ耐性を維持したまま、より大きなスピン鎖へスケーリング可能か？

主な発見

• 4サイトのヘイゼンベルグ鎖において、エネルギー対位相曲線の停留点を特定することで、1番目の励起状態を高精度に特定し、回路深さを最小限に抑えた。
• 8サイト鎖では、SVDによるユニタリ分解を用いて、16個のCNOTゲートと16個の1キュービット回転でアーキテクチャを実装し、回路の複雑さを顕著に低減した。
• 数値シミュレーションとIBM量子プロセッサの結果から、エネルギー期待値曲線が、1スピン励起状態に対応する正しいφ値で明確な停留点を示していることが確認された。
• 時間発展と制御操作を回避することで、標準的な相関関数推定法と比較してCNOTゲート数を最大70％まで削減した。
• 制限された接続性とゲートエラーを持つNISQデバイス上でも実行可能であり、多体物理学における近い将来の量子優位性の実現に有望である。
• 反復処理を要しない本手法は、繰り返しの回路実行と古典的最適化の必要性を排除し、全体の実行時間と誤差蓄積を低減した。