[論文レビュー] Single parameter scaling of one-dimensional systems with real-space long-range correlated disorder

Greg Petersen, Nancy Sandler|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2012

Theoretical and Computational Physics被引用数 3

ひとこと要約

本研究は、実空間内の長距離相関を持つ不純物を有する一次元不規則系における単一パラメータスケーリング（SPS）を調査し、不純度強度と相関指数比 $ W/(t\alpha) < 1 $ のとき、バンド中心と端の間のエネルギー領域でSPSが破綻することを示している。臨界指数 $ \nu $ とフラクタル指数 $ D $ は相関指数 $ \alpha $ に依存するようになる。これは、相関が単なる不純度強度の再スケーリングをはるかに超えて局在化物理学を根本的に変えることを示している。

ABSTRACT

Advances in material growth methods have renewed the interest in localization of one-dimensional systems in the presence of scale-free long-range correlated disorder potentials. We analyze the validity of single parameter scaling for the β-function away from the band center, in the presence of correlations. A renormalized disorder strength emerges reducing the regime of validity of the single parameter scaling hypothesis. Analysis of localization lengths and participation ratios leads to correlation dependent critical and fractal exponents, consistent with the extended Harris criterion.

研究の動機と目的

• 実空間内に長距離相関を持つ不純物を有する一次元系における $ \beta $-関数に対する単一パラメータスケーリング（SPS）の妥当性を評価すること。
• 有効不純度強度 $ W_{\text{eff}} $ に支配されるスケーリング領域と、有効ホワイトノイズ不純度に支配される領域との間の遷移を、局在化長の分析を通じて調査すること。
• 参加比とフラクタル次元 $ D $ を用いた局在状態の性質を特徴づけ、その相関指数 $ \alpha $ への依存関係を特定すること。
• べき則的相関を持つ不純物の存在下でも、拡張されたハリス基準が臨界指数とフラクタル指数に適用可能かどうかを検証すること。
• 局在化長 $ \xi $ のバンド端付近における非解析的挙動と関連づけ、従来のスケーリング理論における矛盾を解消すること。

提案手法

• べき則的相関を持つ局在エネルギー $ \epsilon_n $ を有する一次元アンドリュー・ハミルトニアンの数値的対角化。ここで $ \langle \epsilon_n \epsilon_0 \rangle \propto (1+n)^{-\alpha} $ である。
• 伝搬行列法を用いて局在化長 $ \xi $ を計算し、$ \beta $-関数の分析とスケーリング領域の特定を可能にする。
• 逆参加比（IPR）を $ A_m = \frac{1}{N} \frac{\left( \sum |\psi_m(n)|^2 \right)^2}{\sum |\psi_m(n)|^4} $ を用いて計算し、$ A_m \sim (L/a)^{-D} $ へのフィッティングによりフラクタル次元 $ D $ を抽出する。
• $ \alpha $、$ W/t $、エネルギー $ E/t $ を体系的に変化させ、$ \nu $ と $ D $ が相関強度およびエネルギー位置にどのように依存するかを調査する。
• 拡張されたハリス基準を用いて $ \nu $ と $ D $ の $ \alpha $ 依存性を解釈し、非相関系の極限と比較する。
• スケーリング行動が変化するエネルギー閾値 $ E_{\text{crossover}} $ を分析し、$ \xi(W/t) $ の非解析的特徴と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実空間内に長距離相関を持つ不純物を有する一次元系において、バンド中心から離れた領域でも単一パラメータスケーリング（SPS）は成立するか？
• RQ2 有効不純度強度 $ W_{\text{eff}} $ はスケーリング行動にどのように影響を及ぼし、スケーリング領域の遷移を定義づける役割を果たすか？
• RQ3 局在化長の臨界指数 $ \nu $ は相関指数 $ \alpha $ にどのように依存するか？また、拡張されたハリス基準の予測に従うか？
• RQ4 局在状態のフラクタル次元 $ D $ は $ \alpha $ にどのように依存するか？バンド中心状態とバンド端状態で異なるか？
• RQ5 なぜ長距離相関の存在下でSPS仮説が破綻するのか？これは局在化長における非解析的挙動とどのように関係するか？

主な発見

• 単一パラメータスケーリング（SPS）は、$ W/(t\alpha) < 1 $ のとき、バンド中心と端の間のエネルギー領域で破綻する。SPS破綿の閾値 $ E_{\text{SPS}} $ は、局在化長の展開におけるバンド端異常現象の発生と一致する。
• 局在化長の臨界指数 $ \nu $ は $ \alpha $ に対して非単調的であり、$ \alpha < 1 $ と $ \alpha > 1 $ で異なる関数的形を示し、$ \alpha = 1 $ で遷移が起こることを示している。
• 局在状態のフラクタル次元 $ D $ は $ \alpha < 1 $ のとき $ \alpha $ に依存するようになる。特にバンド中心では $ D $ が $ \alpha $ の増加に伴い減少し、波動関数がより広がっていることを示している。
• $ \alpha < 1 $ のとき、広がりに近い状態の数が顕著に増加し、特にバンド中心付近で顕著になる。これは $ \alpha \to 0 $ の極限で完全に広がった状態への連続的補間を示唆している。
• バンド端付近での局在化長の異常な増大は、単に不純度強度 $ W \to W_{\text{eff}} $ の再スケーリングでは説明できない。これは、相関が局在状態の性質に非自明でエネルギー依存の方法で影響を与えていることを示している。
• 結果は拡張されたハリス基準と整合しており、$ \nu $ と $ D $ が相関系において $ \alpha $ に依存することを確認した。これは、長距離相関を持つ現実の不純物系ではSPSの普遍性が覆されることを示唆している。