[論文レビュー] Single pass sparsification in the streaming model with edge deletions

Ashish Goel, Michael Kapralov+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 23被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、辺の挿入と削除を伴う動的グラフにおいて、$\tilde{O}(n/\epsilon^2)$ の空間と更新ごとに $\tilde{O}(1/\epsilon^2)$ の時間で、$\epsilon$-スパースファイアを構築する単一パスのストリーミングアルゴリズムを提示する。接続性推定とスパース回復を組み合わせて、接続性に比例するように辺をサンプリングすることで、削除があっても単一パスで効率的に再構築可能な $O(n/\log^3 n / \epsilon^2)$ 時間のスパースファイアを実現する。

ABSTRACT

In this paper we give a construction of cut sparsifiers of Benczur and Karger in the {\em dynamic} streaming setting in a single pass over the data stream. Previous constructions either required multiple passes or were unable to handle edge deletions. We use $ ilde{O}(1/\e^2)$ time for each stream update and $ ilde{O}(n/\e^2)$ time to construct a sparsifier. Our $\e$-sparsifiers have $O(n\log^3 n/\e^2)$ edges. The main tools behind our result are an application of sketching techniques of Ahn et al.[SODA'12] to estimate edge connectivity together with a novel application of sampling with limited independence and sparse recovery to produce the edges of the sparsifier.

研究の動機と目的

• 辺の挿入と削除が可能な動的グラフにおけるカットスパースファイアの単一パスストリーミングアルゴリズムを設計すること。
• 僅か $\tilde{O}(n/\epsilon^2)$ の空間で、$O(n\log^3 n / \epsilon^2)$ 時間のスパースファイアを達成すること。
• 従来の手法が複数パスを必要としたり、辺の削除に対応できなかったという制限を克服すること。
• ストリーム処理後、$\tilde{O}(n/\epsilon^2)$ 時間でスパースファイアの辺を効率的に回復できること。
• 完全独立なランダムサンプリングに依存するのを減らすために、限られた独立性を持つランダム変数を使用すること。

提案手法

• Ahn ら (SODA'12) のスケッチ技術を用いて、幾何級数的なサンプリングレートを用いて辺の接続性を推定する。
• 複数のレートにおけるサンプル済み辺の線形スケッチを維持し、スパース回復と再構築を可能にする。
• $\gamma\log^4 n / \epsilon^2$-wise 独立なランダム変数を用いることで、空間使用量を削減しながら集中限界を維持する。
• 必要なときにスケッチからスパース回復を適用してサンプル済み辺を再構築し、単一パスでの回復を可能にする。
• 接続性推定とエッジサンプリングを統合：推定された接続性に反比例するレートでエッジをサンプリングする。
• 条件付き期待値の境界と集中不等式を用いて、限られた独立性のもとでも正しさを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的グラフストリームにおいて、辺の削除を伴う単一パスでカットスパースファイアを構築することは可能か？
• RQ2 $\tilde{O}(n/\epsilon^2)$ の空間複雑度を維持しながら、$O(n\log^3 n / \epsilon^2)$ のスパースファイアサイズを達成できるか？
• RQ3 正しさを保証しつつ、複数パスや完全独立なランダムサンプリングを避けることは可能か？
• RQ4 スパース回復技術をグラフスケッチと効果的に組み合わせ、スパースファイアの辺を効率的に再構築できるか？
• RQ5 限られた独立性を用いて、単一パスで正確なエッジ接続性を推定することは可能か？

主な発見

• アルゴリズムは、動的ストリーム上で単一パスで $\epsilon$-カットスパースファイアを構築し、$O(n\log^3 n / \epsilon^2)$ 時間の辺数を達成する。
• アルゴリズムは $\tilde{O}(n/\epsilon^2)$ の空間を使用し、更新ごとに $\tilde{O}(1/\epsilon^2)$ の作業を行う。
• ストリーム処理後、$\tilde{O}(n/\epsilon^2)$ 時間でスパースファイアを回復できる。
• 方法は $\gamma\log^4 n / \epsilon^2$-wise 独立なランダム変数を用いて正しさを達成し、完全独立性よりも空間使用量を削減する。
• 分析により、エッジサンプリングの過剰推定または過小推定の確率が集中不等式によって適切に境界づけられていることが示された。
• 本成果は、従来の研究を改善し、動的モデルにおいて単一パスでのスパースファイア構築を可能にした。これは、従来は複数パスまたは削除なしでのみ可能であった。