[論文レビュー] Single-Strip Triangulation of Manifolds with Arbitrary Topology

M. Gopi, David Eppstein|ArXiv.org|May 10, 2004

Computer Graphics and Visualization Techniques参考文献 18被引用数 11

ひとこと要約

本論文では、任意のトポロジーを持つ三角形メッシュを、隣接する三角形を辺の中点で適切に分割することで、幾何的忠実性を保ちながらすべての入力三角形をカバーするハミルトン閉路を持つ単一の三角形ストリップに変換する、新しいアルゴリズムを提示する。この手法は、三角形数が最大50%増加することを保証しており（実世界のケースでは2%未満）、複雑な表面における手続き的空間充填曲線の応用を可能にする。

ABSTRACT

Triangle strips have been widely used for efficient rendering. It is NP-complete to test whether a given triangulated model can be represented as a single triangle strip, so many heuristics have been proposed to partition models into few long strips. In this paper, we present a new algorithm for creating a single triangle loop or strip from a triangulated model. Our method applies a dual graph matching algorithm to partition the mesh into cycles, and then merges pairs of cycles by splitting adjacent triangles when necessary. New vertices are introduced at midpoints of edges and the new triangles thus formed are coplanar with their parent triangles, hence the visual fidelity of the geometry is not changed. We prove that the increase in the number of triangles due to this splitting is 50% in the worst case, however for all models we tested the increase was less than 2%. We also prove tight bounds on the number of triangles needed for a single-strip representation of a model with holes on its boundary. Our strips can be used not only for efficient rendering, but also for other applications including the generation of space filling curves on a manifold of any arbitrary topology.

研究の動機と目的

• 任意のトポロジーを持つ三角形メッシュから、トポロジーの複雑さに関係なく単一の三角形ストリップを生成する手法を開発すること。
• 新規頂点を辺の中点にのみ追加し、分割された三角形が同一平面上に保たれるようにすることで、元のモデルの視覚的忠実性を維持すること。
• ストリップ化に必要な追加三角形の最大数に対する理論的上限を提供すること。
• 任意のトポロジーを持つ表面における手続き的空間充填曲線の生成を可能にする、新たな応用を実現すること。
• ヒューリスティックなストリップ化と完全な三角形メッシュ再構築の間のギャップを、入力三角形の変更を最小限に抑えることで埋めること。

提案手法

• アルゴリズムは、双対グラフのマッチングを用いてメッシュをサイクルに分割し、双対グラフの2正則部分グラフから出発する。
• 隣接する三角形を共有する辺の中点で分割することで、サイクル同士を統合し、1回の分割で2つの新しい同一平面上の三角形を生成する。
• 共有辺の中点に新規頂点を配置することで、新しい三角形が元の対応する三角形と同一平面上に保たれ、幾何的忠実性が維持される。
• ハミルトン閉路に沿って一貫した方向性と向きを保つことで、空間充填曲線の再帰的分割が可能になる。
• すべての入力頂点が保持され、単一のストリップを達成するために、追加される三角形の数を最小限に抑える。
• ハミルトン閉路から導かれる三角形の全線形順序に従って処理が行われ、順次走査を要する応用が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の2次元多様体（任意の genus や境界構造を有する）に対して、単一の三角形ストリップを構築できるか？
• RQ2 入力三角形メッシュから単一ストリップを形成するための追加三角形数の理論的上限は何か？
• RQ3 新規頂点を導入する際、幾何的忠実性を保持できるか？
• RQ4 得られた単一ストリップを用いて、任意のトポロジーを持つ多様体上に空間充填曲線を生成できるか？
• RQ5 実際の三角形数の増加率は、理論的な最悪ケースの上限と比べてどの程度か？

主な発見

• アルゴリズムは最悪ケースで三角形数を最大50%まで増加させるが、実測結果では全テストモデルで2%未満の増加が確認された。
• 本手法は、新たに導入されたすべての三角形が親三角形と同一平面上に保たれることを保証しており、視覚的忠実性が維持される。
• アルゴリズムは、すべての入力三角形を丁寧に一度だけ通過するハミルトン閉路を生成し、メッシュ全体の全線形順序付けを可能にする。
• 得られた単一ストリップは、任意のトポロジーを持つ多様体上での手続き的空間充填曲線の生成を可能にし、これは画期的な貢献である。
• 本手法は、入力頂点を変更せず、辺の中点にのみ新規頂点を追加することで、単一ストリップ表現を達成する。
• 本アルゴリズムは、複雑なモデルに対しても効果的である。例えば、2つの穴を持つ彫刻（50,780 から 51,780 三角形）や馬のモデル（96,966 から 98,552 三角形）に対しても有効である。