[論文レビュー] Singular connections, WZNW action, and moduli of parabolic bundles on the sphere

Claudio Meneses, Leon A. Takhtajan|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、リーマン球面上の安定パラボリックベクトル束のパラボリック次数がゼロであるモジュライ空間の正則部分集合上で、正則化されたWess-Zumino-Novikov-Witten (WZNW)関数を用いてケーラー位相を構成する。この位相が、リーマン＝ヒルベルト問題の解に関連する(1,0)-形式の原始関数であることが示され、特異接続、コンformal field theory、パラボリック束のモジュライ空間との間に幾何的リンクを確立する。

ABSTRACT

The moduli space of stable parabolic vector bundles of parabolic degree 0 over the Riemann sphere is considered. The vector bundle analog of the Klein's Hauptmodul is defined and the regular locus, a subset of bundles with minimal Birkhoff-Grothendieck decomposition and generic Bruhat type of the constant term at $\infty$, is introduced. For the restriction of the natural Kaehler metric to the regular locus a potential is constructed as the value of the regularized WZNW functional evaluated on singular Hermitian metrics in the corresponding vector bundles. It is shown that this potential is an antiderivative of a (1,0)-form on the regular locus, associated with a solution of the Riemann-Hilbert problem.

研究の動機と目的

• リーマン球面上のパラボリック束に対してクラインの Hauptmodul のベクトル束版を定義すること。
• パラボリック次数がゼロである安定パラボリック束のモジュライ空間内の正則部分集合を定義し、その性質を特定すること。
• 特異ヒルベルト計量上の正則化WZNW関数を用いて、この正則部分集合上にケーラー位相を構成すること。
• この位相が、リーマン＝ヒルベルト問題の解に関連する(1,0)-形式の原始関数であることを確立すること。
• 特異接続を通じて、モジュライ空間の幾何的構造をコンformal field theoryおよび表現論と結びつけること。

提案手法

• 正則部分集合は、無限遠点における最小のバーキホフ＝グロテンディーク分解と一般のブルハット型を持つパラボリック束の部分集合として定義される。
• WZNW関数が正則化され、対応するベクトル束内の特異ヒルベルト計量に適用され、ケーラー位相が得られる。
• この位相が正則部分集合上で適切に定義された関数であることが示され、WZNW作用の漸近的挙動から導かれる。
• 束のモノドロミーデータに関連するリーマン＝ヒルベルト問題の解から(1,0)-形式が構成される。
• この位相が、この(1,0)-形式の原始関数であることが証明され、幾何的および解析的構造が結びつけられる。
• この構成は、パラボリック構造、正則接続、およびモジュライ空間の幾何の間の相互作用に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンformal field theoryの道具（例：WZNW関数）を用いて、パラボリック束のモジュライ空間上にケーラー位相をどのように構成できるか？
• RQ2 最小のバーキホフ＝グロテンディーク分解と無限遠点における一般のブルハット型によって定義される正則部分集合の幾何的意味は何か？
• RQ3 特異ヒルベルト計量上の正則化WZNW関数は、モジュライ空間上の微分形式とどのように関係するか？
• RQ4 リーマン＝ヒルベルト問題の解が、ケーラー位相の微分構造をどのように符号化するか？
• RQ5 ベクトル束版のクラインの Hauptmodul は、モジュライ空間の幾何を整理する上で果たす役割は何か？

主な発見

• リーマン球面上の安定パラボリック束のモジュライ空間の正則部分集合上で、明示的なケーラー位相が構成された。
• この位相は、対応するベクトル束内の特異ヒルベルト計量に評価された正則化WZNW関数の値として得られた。
• この位相が、リーマン＝ヒルベルト問題の解によって定義される(1,0)-形式の原始関数であることが証明された。
• 正則部分集合は、最小のバーキホフ＝グロテンディーク分解および無限遠点における定数項の一般のブルハット型によって特徴づけられる。
• この構成により、特異接続、コンフォーマル場理論、およびモジュライ空間の微分幾何の間の直接的なリンクが確立された。
• クラインの Hauptmodul のベクトル束版が、モジュライ空間の構造を整理するための道具として導入された。