[論文レビュー] Singular control and optimal stopping of memory mean-field processes

Nacira Agram, Achref Bachouch+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、記憶付き平均場SDEの最適特異的制御、反射付き先進的平均場後向きSDE（AMBSDE）、および最適停止問題の間の関係を確立する。反射付きAMBSDEの解の存在および一意性を証明し、部分情報下での最適特異的制御の必要十分条件を導出し、最適制御問題が随伴過程と記憶付き・平均場依存性を有する反射付きBSDEを含む双対表現を通じて最適停止問題に等価であることを示す。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study the following topics and the relation between them: (i) Optimal singular control of mean-field stochastic differential equations with memory, (ii) reflected advanced mean-field backward stochastic differential equations, and (iii) optimal stopping of mean-field stochastic differential equations. More specifically, we do the following: - We prove the existence and uniqueness of the solutions of some reflected advanced memory backward stochastic differential equations (AMBSDEs), - we give sufficient and necessary conditions for an optimal singular control of a memory mean-field stochastic differential equation (MMSDE) with partial information, and - we deduce a relation between the optimal singular control of a MMSDE, and the optimal stopping of such processes.

研究の動機と目的

• 記憶付き・平均場依存性を有する反射付き先進的平均場後向きSDEの解の存在および一意性を確立すること。
• 部分情報下における記憶付き平均場SDEの最適特異的制御の必要十分条件を導出すること。
• 記憶付き平均場SDEの文脈において、最適特異的制御と最適停止問題の間の双対性を示すこと。
• 随伴過程と記憶構造を含む共通の数学的枠組みを通じて、3つの核心的問題（特異的制御、反射付きBSDE、最適停止）を統合すること。

提案手法

• 記憶付き平均場SDEと反射付き先進的平均場BSDEを結合する前向き・後向き系を定式化する。
• 確率的最適性原理を適用し、部分情報下での最適特異的制御の必要十分条件を導出する。
• 随伴過程と双対性を用いて、特異的制御問題を記憶付き・平均場項を有する反射付きBSDEを通じて最適停止問題に結びつける。
• 最適停止問題の価値過程が特異的制御設定における随伴過程に一致することを確立する。
• 最適停止時刻を、制御コストと随伴過程によって定義される境界に到達する最初の時刻としての表現を導出する。
• 予測的SDE、平均場期待値、経路依存確率積分計算などの高度な確率解析の道具を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 記憶付き・平均場依存性を有する反射付き先進的平均場後向きSDEは、どのような条件下で一意な解を有するか？
• RQ2 部分情報下における記憶付き平均場SDEの最適特異的制御の必要十分条件は何か？
• RQ3 記憶付き平均場SDEの文脈において、最適特異的制御問題と最適停止問題はどのように関係しているか？
• RQ4 最適停止問題の価値過程は、特異的制御問題における随伴過程によって表現可能か？
• RQ5 最適停止時刻の明示的形は、制御および随伴過程を用いてどのように表されるか？

主な発見

• 本稿は、記憶付き・平均場依存性を有するクラスの反射付き先進的平均場後向きSDEの解の存在および一意性を証明する。
• 最適特異的制御が、随伴過程と記憶付き・平均場項を有する反射付きBSDEを含む前向き・後向きSDEの系によって特徴づけられることを確立する。
• 最適制御問題が、価値過程が随伴過程に一致し、停止時刻が制御コストによって定義される境界に随伴過程が到達する最初の時刻である最適停止問題に等価であることが示される。
• 最適停止時刻は、累積制御過程が閾値を超える最初の時刻、または等価的に反射過程が境界に達する最初の時刻として明示的に与えられる。
• 特異的制御と最適停止の間の双対性は、随伴過程と反射付きBSDEのドライバーを含む双対表現を通じて形式化される。
• 定数の制御コストと完全情報の状況では、最適停止時刻は $ \hat{\tau}_0 = \inf\{s \in [0,T], Y(s) \leq S(s)\} \wedge T $ で与えられ、ここで $ S(s) = \frac{1}{\lambda_0} \hat{h}(s) $ である。