[論文レビュー] Singular dimensions of the N=2 superconformal algebras. I

Matthias Doerrzapf, Beatriz Gato-Rivera|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 1998

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、N=2超 conformal代数のための適応順序付け法を発展させ、Verma加群内の特異ベクトル空間を分析する。順序付け核を調べることで、トポロジカルN=2 Verma加群内の特異ベクトル空間の最大次元が 0, 1, 2, または 3 であることを証明し、チャーラル加群では4種類、完全加群では29種類であることを確認した。2次元の特異ベクトル空間はレベル1に存在する。この方法はネベウ＝シュワルツおよびラモンド代数へと拡張され、それぞれ最大次元が 0, 1, 2 および 0, 1, 2, 3 であることが得られた。

ABSTRACT

Verma modules of superconfomal algebras can have singular vector spaces with dimensions greater than 1. Following a method developed for the Virasoro algebra by Kent, we introduce the concept of adapted orderings on superconformal algebras. We prove several general results on the ordering kernels associated to the adapted orderings and show that the size of an ordering kernel implies an upper limit for the dimension of a singular vector space. We apply this method to the topological N=2 algebra and obtain the maximal dimensions of the singular vector spaces in the topological Verma modules: 0, 1, 2 or 3 depending on the type of Verma module and the type of singular vector. As a consequence we prove the conjecture of Gato-Rivera and Rosado on the possible existing types of topological singular vectors (4 in chiral Verma modules and 29 in complete Verma modules). Interestingly, we have found two-dimensional spaces of singular vectors at level 1. Finally, by using the topological twists and the spectral flows, we also obtain the maximal dimensions of the singular vector spaces for the Neveu-Schwarz N=2 algebra (0, 1 or 2) and for the Ramond N=2 algebra (0, 1, 2 or 3).

研究の動機と目的

• トポロジカルN=2 Verma加群における特異ベクトルの数と種類に関する長年の予想を解消すること。
• バーラソロ代数のケースを超えて、超 conformal代数における特異ベクトル空間次元を分析する一般的手法を開発すること。
• スペクトラルフローおよびトポロジカルねじ込みを用いて、トポロジカル代数の結果をネベウ＝シュワルツおよびラモンド代数へと拡張すること。
• すべてのN=2超 conformal代数のVerma加群における特異ベクトル空間の最大可能な次元を特定すること。
• 順序付け核の大きさと特異ベクトル空間次元の上界との間の明確な関係を確立すること。

提案手法

• バーラソロ代数からケントの適応順序付け法をN=2超 conformal代数へと適応する。
• 適応順序付けに関連する順序付け核の概念を導入し、特異ベクトル構造を分析する。
• 順序付け核の大きさをVerma加群内の特異ベクトル空間次元の上限として用いる。
• この方法をトポロジカルN=2代数に適用し、さまざまな加群タイプにおける最大特異ベクトル空間次元を計算する。
• トポロジカルねじみおよびスペクトラルフローを用いて、トポロジカル代数の結果をネベウ＝シュワルツおよびラモンド代数へと関連付ける。
• 順序付け核の代数的構造を分析することで、特異ベクトル空間次元に対する一般的な上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカルN=2超 conformal代数のVerma加群における特異ベクトル空間の最大次元は何か？
• RQ2 特異ベクトル空間の次元は、Verma加群のタイプ（チャーラル、完全）および特異ベクトルの性質にどのように依存するか？
• RQ3 適応順序付け法は、バーラソロ代数を超える超 conformal代数へ一般化可能か？
• RQ4 ネベウ＝シュワルツおよびラモンドN=2代数のVerma加群における最大特異ベクトル空間次元は何か？
• RQ5 2次元の特異ベクトル空間は低レベルで存在するのか？もしそうなら、どのような条件下で存在するのか？

主な発見

• トポロジカルVerma加群における特異ベクトル空間の最大次元は、加群タイプおよび特異ベクトルの性質に応じて 0, 1, 2, 3 のいずれかである。
• 本稿はガト・リベラとロサドの予想を確認した：チャーラルVerma加群には4種類の特異ベクトルが存在し、完全Verma加群には29種類が存在する。
• トポロジカルN=2代数において、レベル1に2次元の特異ベクトル空間が存在することは、以前に確立されていなかった非自明な結果である。
• ネベウ＝シュワルツN=2代数では、最大特異ベクトル空間次元は 0, 1, 2 である。
• ラモンドN=2代数では、最大特異ベクトル空間次元は 0, 1, 2, 3 である。
• 順序付け核の大きさは、特異ベクトル空間次元の正確な上界を提供し、一般的な代数的制約を確立する。