[論文レビュー] Singular Hermitian-Einstein monopoles on the product of a circle and a Riemann surface

Benoit Charbonneau, Jacques Hurtubise|ArXiv.org|Dec 1, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$S^1 \times \Sigma$ 上の特異単位的ヒルベルト・アインシュタインモノポールと、リーマン面 $\Sigma$ 上の安定な正則対 $(\mathcal{E}, \rho)$ の間の対応関係を確立する。ここで $\mathcal{E}$ は正則ベクトル束であり、$\rho$ はメロモルフィック自己同型写像である。主な結果は、このようなモノポールのモジュライ空間と安定対のモジュライ空間との間の全単射対応であり、モノポールの特異性はメロモルフィックセクション $\rho$ の極に対応する。また、ゲージ理論的および複素幾何的視点からの次元計算を通じて、モジュライ空間の複素幾何が分析されている。

ABSTRACT

In this paper, the moduli space of singular unitary Hermitian--Einstein monopoles on the product of a circle and a Riemann surface is shown to correspond to a moduli space of stable pairs on the Riemann surface. These pairs consist of a holomorphic vector bundle on the surface and a meromorphic automorphism of the bundle. The singularities of this automorphism correspond to the singularities of the singular monopole. We then consider the complex geometry of the moduli space; in particular, we compute dimensions, both from the complex geometric and the gauge theoretic point of view.

研究の動機と目的

• $S^1 \times \Sigma$ 上の特異単位的ヒルベルト・アインシュタインモノポールと $\Sigma$ 上の安定な正則対の間の対応関係を確立すること。
• ゲージ理論と複素幾何を用いて、このようなモノポールのモジュライ空間を特徴づけること。
• ゲージ理論的および複素幾何的視点から、モジュライ空間の次元を定義し計算すること。
• 特異性がモノポールに与える役割を分析し、それが束上のメロモルフィック自己同型写像の極に対応することを示すこと。
• $\Sigma$ の有限被覆で自明化される円周バンドルへと対応を拡張すること。この際、平行移動とデック変換を用いる。

提案手法

• 著者らは、$Y = S^1 \times \Sigma$ 上で定数中心項を伴う一般化されたボゴモルニ方程式を用い、固定点 $p_i = (t_i, z_i)$ にディラック型特異性を組み込む。
• 特異モノポールを定義し、特異点近傍での漸近的挙動を整数列 $\vec{k}_i$ で決定する。ここでヘイジ場 $\phi$ は $\frac{\sqrt{-1}}{2R_i} \mathrm{diag}(k_{i1}, \dots, k_{in})$ のように振る舞う。
• モノポールを普遍被覆 $\widetilde{Y} \to Y$ に引き上げる。ここでは平坦セクション $S$ が束を自明化し、平行移動を用いて $\Sigma$ 上に正則構造を定義できる。
• $S^1$-不変性と平坦接続により、$\Sigma$ 上に正則ベクトル束 $\mathcal{E}$ とメロモルフィック自己同型写像 $\rho$ を、平行移動とデック変換を用いて構成する。
• 非自明な円周バンドルのための安定性条件を一般化するため、$(\vec{t}, U)$-次数 $\delta_{\vec{t},U}(\mathcal{E}, \rho)$ を定義する。
• $S^1 \times \mathfrak{D}$ による不変性とデック群作用による降下を用いて、非可約 HE-モノポールのモジュライ空間と、指定された特異型 $\mathbf{K}$ を持つ安定対 $(\mathcal{E}, \rho)$ の間の全単射対応を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $S^1 \times \Sigma$ 上の特異ヒルベルト・アインシュタインモノポールは、$\Sigma$ 上の正則構造とどのように関係するか？
• RQ2 特異モノポールのモジュライ空間と安定な正則対のモジュライ空間との間の正確な対応関係は何か？
• RQ3 特に次元の観点から、モノポールのモジュライ空間の複素幾何はどのように分析できるか？
• RQ4 円周バンドルの位相的性質は、関連する正則対の安定性および次数を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ5 モノポールの特異性は、正則束上のメロモルフィック自己同型写像にどのように現れるか？

主な発見

• $\Sigma$ の有限被覆で自明化される円周バンドル $Y \to \Sigma$ 上の非可約 $\mathrm{U}(n)$ ヒルベルト・アインシュタインモノポールのモジュライ空間は、$(\vec{t}, U)$-安定な正則対 $(\mathcal{E}, \rho)$ のモジュライ空間と全単射対応する。
• $\Sigma$ 上の正則束 $\mathcal{E}$ はランク $n$ で次数 $k_0$ を持ち、メロモルフィック自己同型写像 $\rho$ は $z_j$ に極を持つ。局所的には $F_j(z) \mathrm{diag}(z^{k_{jl}}) G_j(z)$ の形を取り、$F_j, G_j$ は正則的かつ正則的である。
• $\rho$ の行列式の除因子は $\sum_j \mathrm{tr}(\vec{k}_j) z_j$ に一致し、モノポールの特異性データとメロモルフィックセクションの除因子を結びつける。
• ゲージ理論的および複素幾何的視点からの両方のアプローチで、モジュライ空間の次元が計算され、両者の整合性が確認された。
• $(\vec{t}, U)$-次数 $\delta_{\vec{t},U}(\mathcal{E}, \rho)$ は、$\widetilde{M}_t$ によるセクション $S$ の平行移動に対して不変であり、円作用下での安定性が適切に定義されることを保証する。
• $\Sigma$ の有限被覆で自明化されない円周バンドルに対しては、安定性条件は、次第に大きな基本領域における平均次数の極限として定義される。