[論文レビュー] Singular Levi-flat hypersurfaces and codimension one foliations

Marco Brunella|ArXiv.org|Jan 22, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、複素多様体内の特異的レヴィフラットな実解析的超曲面について、その解消における解像度定理を確立する。特異的でない部分におけるレヴィfoliationは、新たな複素多様体へのホロモルフィック写像を介して、局所的に微小な意味でホロモルフィックに拡張可能であることが示される。主な結果は、このようなfoliationが解消空間上でのcodimension-oneのホロモルフィックfoliationに引き上げられ、特異的集合の近傍でfoliation構造を保つような、特異的集合を正しく解消する正則な射影写像によって、特異的集合を解消できることを示している。

ABSTRACT

We study Levi-flat real analytic hypersurfaces with singularities. We prove that the Levi foliation on the regular part of the hypersurface can be holomorphically extended, in a suitable sense, to neighbourhoods of singular points.

研究の動機と目的

• 特異的レヴィフラットな実解析的超曲面のレヴィfoliationを、特異的集合の近傍へホロモルフィックに拡張することで、特異的集合を解消すること。
• 標準的なホロモルフィック拡張が失敗する場合に生じる、特異的集合や分岐性に起因する拡張の障害を解消すること。
• 新たな複素多様体へのホロモルフィック写像を用いて、微小な意味でレヴィfoliationを拡張することにより、foliation構造を保存すること。
• 滑らかなレヴィフラット超曲面の古典的ケース（そのfoliationは全域的に拡張可能）を、特異的ケースに一般化すること。

提案手法

• 次元 $n$ の複素多様体 $Y$ と、その中にレヴィフラットな実解析的超曲面 $N \subset Y$ を構成し、$N_{\text{reg}}$ 上のレヴィfoliationが $Y$ 上のcodimension-oneのホロモルフィックfoliation $\mathcal{F}$ に拡張されることを保証する。
• 写像 $\pi: Y \to X$ をホロモルフィックに定義し、ある開集合 $N_0 \subset N$ に対して $\pi|_{N_0}: N_0 \to M_{\text{reg}}$ が同型となるようにする。
• $\pi|_{\overline{N_0}}: \overline{N_0} \to \overline{M_{\text{reg}}}$ が正則写像となるように保証し、特異的集合を越えてfoliation構造が保存されることを確認する。
• 超曲面の複素化 $N^{\mathbb{C}} \subset Z \times Z^*$ を用いて、ファイバーの次元を解析し、Remmertのランク定理を適用してファイバー次元を制御する。
• ファイバー次元のZariski下半連続性を適用し、ファイバー次元が定数 $n-1$ に等しくなるような、$N^{\mathbb{C}}$ の稠密なZariski開部分集合 $\breve{N}^{\mathbb{C}} \subset N^{\mathbb{C}}$ を特定する。これにより、正則な振る舞いが保証される。
• 射影 $\Pi$ による $N^{\mathbb{C}}$ の像が次元 $n$ の複素解析的部分集合であることを証明し、一般点における水平ファイバーが、ある近傍の射影の全体を含むことを示す。これにより、foliationが $Y$ 上で全域的に拡張可能であることが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的レヴィフラットな実解析的超曲面の特異的集合近傍における正則的でない部分のレヴィfoliationは、ホロモルフィックに拡張可能か？
• RQ2 特異的集合が存在する場合、特に標準的なホロモルフィック拡張が失敗する場合に、レヴィfoliationの全域的ホロモルフィック拡張の障害の性質は何か？
• RQ3 レヴィfoliationが解消空間 $Y$ 上のcodimension-oneホロモルフィックfoliationに引き上げられるような、解消空間 $Y$ とホロモルフィック写像 $\pi: Y \to X$ が存在するか？
• RQ4 標準的拡張が分岐性や非稠密な特異的集合のために失敗する場合でも、微小的または暗黙的意味でfoliationを拡張できるか？
• RQ5 超曲面の複素化とそのファイバー構造は、foliationの拡張とどのように関係しているか？

主な発見

• 特異的レヴィフラットな実解析的超曲面の正則的でない部分におけるレヴィfoliationは、解消多様体 $Y$ 上のcodimension-oneホロモルフィックfoliationにホロモルフィックに拡張可能である。
• ある開集合 $N_0 \subset N$ に対して $\pi|_{N_0}: N_0 \to M_{\text{reg}}$ が同型となるようなホロモルフィック写像 $\pi: Y \to X$ が存在する。これにより、正則的でない部分上で局所的にバイホロモルフィックとなる。
• $\pi|_{\overline{N_0}}: \overline{N_0} \to \overline{M_{\text{reg}}}$ は正則写像であり、正則的でない部分の閉包が解消空間上に正しく引き上げられ、特異的集合を越えてfoliation構造が保存される。
• $N^{\mathbb{C}}$ の次元は $2n-1$ であり、射影 $\Pi: N^{\mathbb{C}} \to Z$ のファイバー次元は一般に $n-1$ である。次元がより高いファイバーは、唯一の解析的部分集合上でのみ生じる。
• 一般点における水平ファイバーは、ある近傍の射影全体を含むため、$Y$ 上でfoliationが全域的に拡張可能である。
• 標準的ホロモルフィック拡張が失敗する場合（例：分岐性に起因する場合）、解消を用いることで微小な意味でfoliationを拡張可能であることが示されている。例1.2では、$(dw/dz)^2 = 4w$ という暗黙的方程式が、この性質を示している。