[論文レビュー] Singular limits of Kähler-Ricci flow on Fano $G$-manifolds

Yan Li, Gang Tian+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Kähler-Einstein計量を持たないFano $G$-多様体において、$K\times K$-不変な初期計量をもつKähler-Ricci流れが型IIの特異性を示すことを証明しており、Fano多様体上での型II特異性の最初の既知の例を提供している。この結果は、型II解が存在することを示す長年の予想を解消し、不変幾何学と対称空間上のRicci流れの収束解析を用いて達成された。

ABSTRACT

In this paper, we prove that any solution of Kähler-Ricci flow on a Fano compactification $M$ of semisimple complex Lie group, is of type II, if $M$ admits no Kähler-Einstein metrics. As an application, we found two Fano compactifications of $\mathrm{SO}_4(\mathbb{C})$ and one Fano compactification of $\mathrm{Sp}_4(\mathbb{C})$, on which the Kähler-Ricci flow will develop singularities of type II. To the authors' knowledge, these are the first examples of Ricci flow with singularities of type II on Fano manifolds in the literature.

研究の動機と目的

• Fano多様体上のKähler-Ricci流れが型II特異性をとらないという広く知られた予想を解消すること。
• Kähler-Ricci流れが型IIの振る舞いを示すFano多様体の明示的例を構成すること。
• Kähler-Einstein計量の不在が、$K\times K$-不変初期データのもとで型II特異性の形成を示唆すること。
• Hamilton-Tian予想の正則性解析を拡張し、限界空間が対称性制約のもとでも滑らかでないソリトンでない可能性があることを証明すること。

提案手法

• 複素単純リー群 $G$ 及びその最大コンパクト部分群 $K$ を持つFano $G$-多様体上で、$K\times K$-不変初期計量をもつ正規化されたKähler-Ricci流れを分析する。
• 放物型部分 $C^0$-推定およびGromov-Hausdorff収束を用いて、流れ下での限界空間 $M_\infty$ を研究する。
• 関連するポリトープ $P \subset \mathfrak{a}^*$ を用いた $G$-コンパクト化の同相的分類を適用し、限界計量 $\omega_\infty$ を特徴付ける。
• $\psi^\infty$ の勾配の像が $2P$ に等しいことを証明し、限界が元の多様体とbiholomorphicであることを示す。
• 体積収束定理（Colding）および非崩壊性（Perelman）を用いて、境界付近での質量の集中を除外し、像の非コンパクト性が特異性を保証する。
• $K\times K$-不変関数の一意性およびWeyl不変性を用いて、限界ポテンシャルを $\mathfrak{a}$ 上の全域的凸関数へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fano多様体上のKähler-Ricci流れが型II特異性を示すことは可能か？ これは、型I解しか存在しないという広く信じられていた信念に反する。
• RQ2 Fano $G$-多様体において、$K\times K$-不変初期計量をもつKähler-Ricci流れが型IIであるための条件は何か？
• RQ3 このような多様体上のKähler-Ricci流れの限界空間 $M_\infty$ は滑らかなKähler-Ricciソリトンであるか、それとも滑らかでない可能性があるか？
• RQ4 $\mathrm{SO}_4(\mathbb{C})$ および $\mathrm{Sp}_4(\mathbb{C})$ のFanoコンパクト化は、型II Kähler-Ricci流れ解を有するか？
• RQ5 対称性の下でも、Hamilton-Tian予想の限界空間 $M_\infty$ が滑らかなKähler-Ricciソリトンでない可能性があるか？

主な発見

• Kähler-Einstein計量を持たない任意のFano $G$-多様体において、$K\times K$-不変初期計量をもつKähler-Ricci流れは型IIである。
• SO₄(ℂ)の2つのFanoコンパクト化およびSp₄(ℂ)の1つのFanoコンパクト化が、Kähler-Ricci流れが型II特異性を示すように構成された。
• 流れの限界空間 $M_\infty$ は、関連するポリトープの同一性により、特異性にもかかわらず元の多様体 $M$ とbiholomorphicである。
• 限界ポテンシャル $\psi^\infty$ の勾配の像は正確に $2P$ に等しく、初期ポリトープと同じであるため、限界が退化していないことが証明された。
• Hamilton-Tian予想における特異点集合 $S$ は、これらの例では空でないため、$M_\infty$ は滑らかなKähler-Ricciソリトンではない。
• この結果は、単純な群に限らず、すべての複素再帰的 $G$ に一般化可能であり、Kähler-Ricciソリトンの不在が型II流れを示唆することを示した。