[論文レビュー] Singular limits of reaction diffusion equations and geometric flows with discontinuous velocity

Cecilia De Zan, Pierpaolo Soravia|arXiv (Cornell University)|May 23, 2019

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、不連続な速度場を伴う2安定反応拡散方程式の特異極限を研究し、解が時間全域にわたり、動く界面の外で安定平衡に収束することを証明している。界面は、幾何的ハミルトニアン・ヤコビ方程式の粘性解によって記述される不連続な法線速度に従って進化する。これは、粘性理論を用いて、滑らかでない速度関数に対してもレベルセット法を拡張したものである。

ABSTRACT

We consider the singular limit of a bistable reaction diffusion equation in the case when the velocity of the traveling wave solution depends on the space variable and converges to a discontinuous function. We show that the family of solutions converges to the stable equilibria off a front propagating with a discontinuous velocity. The convergence is global in time by applying the weak geometric flow uniquely defined through the theory of viscosity solutions and the level-set equation.

研究の動機と目的

• εに依存する2安定非線形性および不連続な波速を伴う反応拡散方程式の時間全域における漸近的挙動を分析すること。
• 極限速度関数が超曲面上で不連続である場合に、幾何的フローフレームワークを拡張すること。
• ε → 0 の際に勾配が発散しても、解が動く界面の外で安定平衡に収束することを確立すること。
• 不連続ハミルトニアンを伴うハミルトニアン・ヤコビ方程式の粘性解を用いて、極限的フロント運動を定義・特徴づけること。
• 比較原理および近似技術を用いて、不連続な速度場に対し、レベルセット法および弱い幾何的フローティーリーを一般化すること。

提案手法

• 粘性解理論を用いて、速度関数が不連続であっても幾何的フローが一意に定義され、一意性が保証されることを示す。
• 界面の進化を、ハミルトニアン・ヤコビ方程式の粘性解のゼロ等高線として表すレベルセット法の応用。
• 進行する界面の伝播を制御するため、移動波解のプロファイルおよびバリア関数を用いて下界解と上界解を構成する。
• 既知の比較原理を適用可能にするために、不連続な速度関数を滑らかな関数の列で近似する。
• Barles-Souganidisの特異極限フレームワークを、局所的な滑らかな発展との比較を用いて不連続ハミルトニアンに対応可能に修正する。
• 空間時間全域にわたる局所的下界解を全空間に拡張するために、カットオフ関数および正則化された距離関数を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続な速度を伴う反応拡散方程式の特異極限を、時間全域にわたり一意に特徴づけられるか？
• RQ2 速度関数が不連続である場合、界面はどのように進化するのか？その運動は幾何的PDEで記述可能か？
• RQ3 極限速度の上半連続包および下半連続包が初期フロントを定義する役割を果たすか？
• RQ4 速度が不連続であっても、粘性解がフロント運動を一意かつ安定に記述できるか？
• RQ5 反応拡散方程式の解が、進化する界面の外で安定平衡に収束するための条件は何か？

主な発見

• 解の族 $ u^ u $ は、幾何方程式の粘性解 $ u $ が正である領域で局所的に一様に $ 1 $ に収束し、$ u $ が負である領域では $ -1 $ に収束する。
• 極限的フロント $ \Gamma_t $ は法線速度 $ -\alpha(x) $ で移動する。ここで $ \alpha $ は不連続な極限速度であり、ハミルトニアン・ヤコビ方程式 $ u_t + \alpha(x)|Du| = 0 $ の粘性解によって定義される。
• 初期フロント $ \Gamma_0 $ は $ \{ x : \alpha_*(x)/2 \leq g(x) \leq \alpha^*(x)/2 \} $ で与えられる。ここで $ \alpha_* $ および $ \alpha^* $ は $ \alpha $ の下半連続包および上半連続包である。
• $ \|Dc^\varepsilon\|_\infty $ および $ \|D^2c^\varepsilon\|_\infty $ が $ \varepsilon \to 0 $ の際に発散しても、フロントの外では安定平衡への収束は依然として成立する。
• 幾何的フローは粘性解によって一意に定義され、解の増加変換に関してレベルセット進化が不変であるため、その幾何的性質が裏付けられる。
• 証明は、正則化された移動波プロファイルおよびカットオフ技術を用いて、空間時間全域にわたる局所的下界解と上界解を構成することに依拠している。