[論文レビュー] Singular Loci of Hibi toric varieties

V. Lakshmibai, Himadri Mukherjee|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、有限分配的ラティスに付随する正則トーリック多様体（Hibi トーリック多様体）の特異点における接空間の明示的記述を、ラティス理論的データを用いて基底を構成することで与える。特異点集合は、埋め込まれた部分ラティス $ D_{\tau} $ に対応する部分多様体の和集合であり、その次元が環境次元を上回る場合に生じる。これは、ラティス内の鎖と同値類に関する組合せ的条件によって決定される。

ABSTRACT

We first construct explicit bases for the cotangent spaces at singular points on Hibi toric varieties, i.e., toric varieties associated to distributive lattices. We then determine the singular loci of these toric varieties.

研究の動機と目的

• Hibi トーリック多様体の特異点における接空間の構造を特定すること。
• 基礎となる分配的ラティスからの組合せ的データを用いて、Hibi トーリック多様体の特異点集合を特徴付けること。
• 鎖とラティス内の同値類を用いた、明示的かつ組合せ的に定義された特異性の基準を提供すること。

提案手法

• Hibi トーリック多様体 $ X_{\mathcal{L}} $ に関連する錐 $ \tau $ 及びその双対 $ \sigma^\vee $ を構成し、半群代数 $ K[S_\sigma] $ を $ X_{\mathcal{L}} $ の座標環と同一視する。
• 各トーラス軌道 $ \mathcal{O}_\tau $ 内の特徴的な点 $ P_\tau $ を、面 $ \tau^\perp $ 外で消える半群写像によって定義し、$ P_\tau $ における評価写像の核として最大イデアル $ M_{P_\tau} $ を特定する。
• 集合 $ D_\tau = \{ \alpha \in \mathcal{L} \mid P_\tau(\alpha) \neq 0 \} $ を導入し、これは $ P_\tau $ 近傍の局所幾何を決定する埋め込み部分ラティスをなす。
• 関数 $ F_\alpha $ を、$ \alpha \notin D_\tau $ のときは $ x_\alpha $、$ \alpha \in D_\tau $ のときは $ 1 - x_\alpha $ と定義し、これらを用いて $ M_{P_\tau} $ を生成する。
• 集合 $ G_\tau(\Gamma) $ を、$ \Gamma $ が $ D_\tau $ 内の最大鎖であるとき、$ Y_\tau(\Gamma) \setminus \{\Gamma \cup E_\tau\} $ の要素の同値類の集合として定義する。ここで $ E_\tau $ は、$ \mathcal{L} \setminus D_\tau $ に含まれる一方の対角を持つダイヤモンドの対角をなす要素からなる。
• $ F_\alpha $ の $ M_{P_\tau}/M_{P_\tau}^2 $ 内の像が、$ \gamma \in \Gamma $ に対する $ F_\gamma $ の像と併せて基底をなすことを証明し、接空間の次元公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hibi トーリック多様体の特異点における接空間の明示的構造は何か？
• RQ2 基礎となる分配的ラティスを用いて、Hibi トーリック多様体の特異点集合をどのように記述できるか？
• RQ3 ラティスにおけるどの組合せ的条件が、点が特異点集合に属することを保証するか？
• RQ4 最大イデアル $ M_{P_\tau} $ の生成子は、$ P_\tau $ 近傍での多様体の幾何にどのように関係するか？
• RQ5 トーラス軌道点における接空間の次元は、ラティス理論的不変量から計算可能か？

主な発見

• $ P_\tau $ における接空間は、$ \Gamma $ を $ D_\tau $ 内の最大鎖とするとき、$ G_\tau(\Gamma) $ の $ \alpha $ に対する $ F\_\alpha $ の像と $ \Gamma $ の $ \gamma $ に対する $ F_\gamma $ の像からなる基底を持つ。
• $ P_\tau $ における接空間の次元は $ \#G_\tau(\Gamma) + \#\Gamma $ に等しく、これが点が特異的かどうかを決定する。
• 点 $ P_\tau $ が特異的であるための必要十分条件は、$ \#G_\tau(\Gamma) + \#\Gamma > \#\mathcal{L} $ が成り立つことであり、特異性の明示的組合せ的基準を提供する。
• 特異点集合 $ \text{Sing}\,X_{\mathcal{L}} $ は、すべての面 $ \tau $ について、$ P_\tau $ で非ゼロとなる要素の部分ラティス $ D_\tau $ に対応する部分多様体 $ X(D_\tau) $ の和集合として表される。
• 接空間次元の公式から、多様体が軌道 $ \mathcal{O}_\tau $ に沿って特異的であるのは、$ M_{P_\tau}/M_{P_\tau}^2 $ の独立な生成子の数が環境空間の次元を上回る場合に限ることを示す。
• 基底の構成は、鎖 $ \Gamma $ からの成分と $ G_\tau(\Gamma) $ 内の同値類からの成分への接空間の直和分解に依拠しており、線形化写像の核分解を用いて独立性が証明されている。