[論文レビュー] Singular Lorentz-Violating Lagrangians and Associated Finsler Structures

Don Colladay, Patrick McDonald|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2015

Advanced Differential Geometry Research被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、SMEフェルミオン項に起因するスピン依存性の結合から生じるローレンツ対称性の破れを示すラグランジアンにおける特異点を解消するための特異点除去手順を提案する。特異点を持つフィンスラー関数を代数的多様体に持ち上げ、吹き上げ変換技術を適用することで、全域的かつ滑らかなフィンスラー型幾何構造が構成され、半正定値計量を持つ。これにより、初期の幾何的障害にもかかわらず、粒子の軌道を一貫して記述できる古典的モデルが可能になる。

ABSTRACT

Several lagrangians associated to classical limits of lorenz-violating fermions in the Standard Model extension (SME) have been shown to yield Finsler functions when the theory is expressed in Euclidean space. When spin-couplings are present, the lagrangian can develop singularities that obstruct the construction of a globally defined Legendre transformation, leading to singular Finsler spaces. A specific sector of the SME where such problems arise is studied. It is found that the singular behavior can be eliminated by an appropriate lifting of the problem to an associated algebraic variety. This provides a smooth classical model for the singular problem. In Euclidean space, the procedure involves combining two related singular Finsler functions into a single smooth function with a semi-positive definite quadratic form defined on a desingularized variety.

研究の動機と目的

• スピン結合に起因するラグランジアンの特異点が引き起こすローレンツ対称性の破れ理論における全域的フィンスラー幾何の崩壊を解消すること。
• SMEのbμ結合から導かれるフィンスラー関数における非凸性および発散する計量の問題を解消すること。
• 特異点を持つフィンスラー空間における粒子伝播の全域的滑らかな古典的モデルを、問題を特異点除去された代数的多様体に持ち上げることで構築すること。
• スピン依存項を含む明示的ローレンツ対称性の破れが存在する状況下でも、一貫した古典的粒子力学の幾何的定式化を可能にすること。

提案手法

• ミンコフスキー空間からユークリッド空間に特異点を持つフィンスラー関数F±を変換し、F±(y) = √(y²) ± √(b²y² − (b·y)²) を得る。
• 2番目の平方根が消える点、すなわち特異点集合を特定し、これにより滑らかさの欠如および計量の退化が生じることを示す。
• ラグランジアンを、Finsler関数から導かれる多項式方程式P(L) = 0によって定義される代数的多様体として表現する。
• 特異点近傍で新たな座標を用いた吹き上げ手順を適用し、尖点を除去し、新たな多様体上に滑らかな構造を構築する。
• 特異点除去された多様体上に、陰的に定義された新たなフィンスラー型関数Fを構成し、計量が常に半正定値となるように保証する。
• 2つのチャートから成るアトラスを用いて特異点集合を被覆し、従来は禁止されていた速度方向への滑らかな経路統合を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン結合に起因するローレンツ対称性の破れラグランジアンから生じる特異点を持つフィンスラー関数は、体系的に特異点除去され、全域的滑らかな幾何的モデルをもたらすことができるか？
• RQ2 SMEのbμ項に由来する特異点を持つフィンスラー関数が代数的多様体に持ち上げられたとき、どのような幾何的構造が出現するか？
• RQ3 フィンスラー計量の退化および非凸性は、物理的整合性を保ったままどのように除去可能か？
• RQ4 標準的なラプラス変換が失敗する状況下でも、ローレンツ対称性の破れフェルミオンに対して一貫した古典的光線極限を構築できるか？
• RQ5 ラグランジアン方程式の余分な解（スプライアス解）はどのような役割を果たし、物理的に除外可能か？

主な発見

• SMEのbμ結合から導かれる特異点を持つフィンスラー関数F±は、b²y² = (b·y)²を満たす点で尖点を形成し、計量が発散するため、全域的フィンスラー幾何の構築が妨げられる。
• P(L) = 0によって定義される代数的多様体に問題を持ち上げることで、吹き上げ技術を用いて特異点が滑らかな構造に解決される。
• 得られる幾何は、特異点除去された多様体上で一意に定義されたフィンスラー型関数によって記述されるが、これは陰的に定義されており、多重値を取る可能性がある。
• 計量は新しい多様体上で常に半正定値となり、従来物理的軌道の進行を遮断していた負定値領域が完全に除去された。
• 余分な解（例：L = −α√((b·u)²)）が存在し、これは固定運動量の零速度状態に対応するが、スピン保存則の破れにより物理的に不実在であると判明する。
• 本手法により、ローレンツ対称性の破れ理論における粒子伝播の一貫した古典的モデルが得られ、2つのチャートから成るアトラスにより、かつて特異点であった領域を滑らかに通過する経路が実現された。