[論文レビュー] Singular mean-field control games with applications to optimal harvesting and investment problems

Yaozhong Hu, Bernt Øksendal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、特異な平均場確率的制御ゲームの理論的枠組みを構築し、最適制御およびナッシュ均衡の条件を反射スコロホド問題に還元する。弱い仮定のもとで解の存在と一意性を確立し、モデルの不確実性下での最適採取と非可逆的投資への応用を示し、特定の状況ではナッシュ均衡が存在するが一意ではないことを示している。

ABSTRACT

This paper studies singular mean field control problems and singular mean field stochastic differential games. Both sufficient and necessary conditions for the optimal controls and for the Nash equilibrium are obtained. Under some assumptions the optimality conditions for singular mean-field control are reduced to a reflected Skorohod problem, whose solution is proved to exist uniquely. Applications are given to optimal harvesting of stochastic mean-field systems, optimal irreversible investments under uncertainty and to mean-field singular investment games. In particular, a simple singular mean-field investment game is studied where the Nash equilibrium exists but is not unique.

研究の動機と目的

• モデル不確実性を伴う特異的平均場確率的制御問題における十分かつ必要十分な最大原理の構築。
• 状態に依存する係数と一般な性能関数を許容するように、既存の平均場制御理論を拡張すること。
• 非対称情報を持つ特異的平均場確率的デュオゲームを分析し、均衡条件を導出すること。
• 実世界の問題、たとえばナイトィアン的不確実性下での非可逆的投資および最適採取に、理論的枠組みを応用すること。
• 特異的平均場ゲームにおけるナッシュ均衡の存在を示し、それが一意でない可能性があることを示すこと。

提案手法

• 状態に依存するドリフト、拡散、および制御係数を有する一般な特異的平均場制御問題を定式化する。
• 確率積分と随伴バックワードSDEを用いて、十分かつ必要十分な最大原理を導出する。
• 最適性条件を反射スコロホド問題に還元し、弱い正則性条件のもとで解の存在と一意性を証明する。
• 非対称情報を持つ2人零和ゲームとしての特異的平均場ゲームを適用し、競合する投資または採取意思決定をモデル化する。
• 制御インcentiveの符号に基づいて時間区間を分割することで、反射スコロホド問題の連立系を解く。
• 制御インcentiveの符号が一定である部分区間において再帰的解法を用い、均衡の明示的構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的平均場制御問題が一意な最適制御をもつための条件は何か？
• RQ2 特異的平均場制御の最適性条件は、どのようにスコロホド反射問題に還元できるか？
• RQ3 特異的平均場確率的微分ゲームにおけるナッシュ均衡の必要十分条件は何か？
• RQ4 特異的平均場ゲームにおいてナッシュ均衡が存在するが一意でない状況はどのようなものか？
• RQ5 ナイトィアン的不確実性を、平均場制御を用いて非可逆的投資および採取問題に組み込む方法は何か？

主な発見

• 特異的平均場制御の最適性条件は、弱い正則性仮定のもとで一意解をもつ反射スコロホド問題に還元される。
• 2人零和ゲームにおいて、両プレイヤーが行動する正のインセンティブを持つ場合、ナッシュ均衡は存在するが一意ではない。
• 両プレイヤーが正の制御インセンティブを持つ場合、状態過程の上界に等しい合計制御を2つの非減少過程に分解する任意の方法が、ナッシュ均衡を形成する。
• 解法は、制御インセンティブの符号が一定である時間区間への分割に依存しており、再帰的構成を可能にする。
• 一方のプレイヤーのみが正のインセンティブを持つ場合、もう一方のプレイヤーの制御は一定に保たれ、アクティブなプレイヤーの制御は状態過程に一致するまで増加する。
• この枠組みは、モデル不確実性下での最適採取および非可逆的投資を明示的に均衡特性化することで、うまくモデル化されている。