[論文レビュー] Singular moduli refined

Benjamin Howard, Tonghai Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、相対的判別式を持つ虚二次体 $K_1, K_2$ の整数環に複素乗法をもつ楕円曲線 $E_1, E_2$ に対して、$\mathrm{Hom}(E_1,E_2)$ 上に $\mathcal{O}_F$-二次形式 $\deg_{\mathrm{CM}}$ を導入することにより、Gross と Zagier の特異モジュラー形式に関する研究を精緻化する。ここで $F = \mathbb{Q}(\sqrt{d_1d_2})$ は実二次体である。この研究では、$\mathcal{X}_\alpha$ と表されるモジュライスタック（$\deg_{\mathrm{CM}}(j) = \alpha$ を満たす三つ組 $(E_1,E_2,j)$ をパラメトライズ）の算術的次数が、$F$ 上の重さ 1 のヘッケイーゼンスタイン級数の中心導関数の $\alpha$-番目のフーリエ係数に一致することを証明し、算術的シーゲル＝ヴァイエルの公式を確立する。

ABSTRACT

We prove a refinement of the results of Gross and Zagier on prime factorizations of singular moduli.

研究の動機と目的

• Gross と Zagier の特異モジュラー形式の結果を対角以外のケースに拡張するため、重さ 1 のヒルベルトモジュラーイーゼンスタイン級数の中心導関数を研究すること。
• $\mathrm{Hom}(E_1,E_2)$ 上に自然な $\mathcal{O}_F$-加群構造と、完全に正定値である $\mathcal{O}_F$-二次形式 $\deg_{\mathrm{CM}}$ を定義し、$\mathrm{Tr}_{F/\mathbb{Q}}\deg_{\mathrm{CM}} = \deg$ を満たすこと。
• モジュライスタック $\mathcal{X}_\alpha$ の算術的次数を、イーゼンスタイン級数の中心導関数の $\alpha$-番目のフーリエ係数と関連付けることで、算術的シーゲル＝ヴァイエルの公式を確立すること。
• $\alpha \in F^\times$ に対して $E^{*,\prime}(\tau_1,\tau_2,0)$ の $\alpha$-番目のフーリエ係数の算術的意味が未解決であるという未解決問題を解消すること。

提案手法

• $\mathrm{SL}_2(\mathcal{O}_F)$ の平行重さ 1 のヘッケイーゼンスタイン級数 $E^*(\tau_1,\tau_2,s)$ を構成し、関数方程式により $s=0$ で消失することを示す。
• 楕円曲線 $E_1$ と $E_2$ の複素乗法作用を用いて、$\mathrm{Hom}(E_1,E_2)$ 上に自然な $\mathcal{O}_F$-加群構造と、完全に正定値である $\mathcal{O}_F$-二次形式 $\deg_{\mathrm{CM}}$ を定義する。
• 三つ組 $(E_1,E_2,j)$ で $\deg_{\mathrm{CM}}(j) = \alpha$ を満たすものをパラメトライズするモジュライスタック $\mathcal{X}_\alpha$ を導入し、その次元が 0 であることを示す。
• 素点 $\mathfrak{p}$ が $\mathrm{Diff}(\alpha)$ に含まれる場合の局所的計算を通じて、$\mathcal{X}_\alpha$ の算術的次数が $E^{*,\prime}(\tau_1,\tau_2,0)$ の $\alpha$-番目のフーリエ係数に一致することを証明する。この際、ホイットカー関数と軌道積分を用いる。
• イーゼンスタイン級数の関数方程式と解析接続を用いて、中心導関数を $\mathcal{X}_\alpha$ の算術的不変量と関連付ける。
• $\mathrm{Diff}(\alpha) = \{\mathfrak{p}\}$ のとき、$4\deg(\mathcal{X}_\alpha) \cdot q^\alpha = E_{\alpha}^{*,\prime}(\tau,0)$ を確立し、両辺が $|\mathrm{Diff}(\alpha)| > 1$ のときともに消失することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\alpha \in F^\times$ に対して、ヘッケイーゼンスタイン級数の中心導関数 $E^{*,\prime}(\tau_1,\tau_2,0)$ の $\alpha$-番目のフーリエ係数の算術的解釈は何か？
• RQ2 $\deg_{\mathrm{CM}}(j) = \alpha$ を満たす $j \in \mathrm{Hom}(E_1,E_2)$ をパラメトライズするモジュライスタック $\mathcal{X}_\alpha$ は、$E^{*,\prime}$ のフーリエ係数と一致する算術的不変量を定義するために用いることができるか？
• RQ3 $\mathrm{Hom}(E_1,E_2)$ 上の $\mathcal{O}_F$-二次形式 $\deg_{\mathrm{CM}}$ は、標準的な次数形式をどのように精緻化し、$\mathbb{Q}$ へのトレースと関係するか？
• RQ4 $F/\mathbb{Q}$ の差分 $\mathfrak{D}$ は、$\mathcal{X}_\alpha$ の局所的構造と算術的次数の計算において果たす役割は何か？
• RQ5 $\mathcal{X}_\alpha$ が正の算術的次数を持つ条件は何か？ また、これは $F$ における $\alpha$ の分解挙動とどのように関係するか？

主な発見

• $\deg_{\mathrm{CM}}(j) = \alpha$ を満たす三つ組 $(E_1,E_2,j)$ をパラメトライズするモジュライスタック $\mathcal{X}_\alpha$ は、すべての $\alpha \in F^\times$ に対して次元 0 をもつ。
• $\mathcal{X}_\alpha$ の算術的次数は、$F$ 上の中間導関数 $E^{*,\prime}(\tau_1,\tau_2,0)$ の $\alpha$-番目のフーリエ係数に一致する。
• $\mathrm{Diff}(\alpha) = \{\mathfrak{p}\}$ のとき、算術的次数は $4\deg(\mathcal{X}_\alpha) \cdot q^\alpha = E_{\alpha}^{*,\prime}(\tau,0)$ を満たし、算術的シーゲル＝ヴァイエルの公式が確立される。
• $|\mathrm{Diff}(\alpha)| > 1$ のとき、$\mathcal{X}_\alpha$ は空集合であり、算術的シーゲル＝ヴァイエルの公式の両辺はともに消失する。
• 素点 $\mathfrak{p}$ における算術的次数の局所的寄与は、$\nu_{\mathfrak{p}}(\alpha) = \frac{1}{2}\mathrm{ord}_{\mathfrak{p}}(\alpha\mathfrak{p}\mathfrak{D})$ によって支配され、これはホイットカー関数の導関数に現れる。
• 自然な $\mathcal{O}_F$-二次形式 $\deg_{\mathrm{CM}}$ は完全に正定値であり、$\mathrm{Tr}_{F/\mathbb{Q}}\deg_{\mathrm{CM}} = \deg$ を満たし、$\mathrm{Hom}(E_1,E_2)$ 上の標準的次数を精緻化する。