[論文レビュー] Singular potentials and absorption problem in Quantum Mechanics

Vladimir D. Skarzhinsky, Juergen Audretsch|ArXiv.org|Dec 1, 2000

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、径数シュレーディンガー方程式の特定の解を選択することにより、アハロノフ＝ボーム型および$\rho^{-2}$型の特異的吸引ポテンシャルを用いて、量子力学における吸収をモデル化する手法を提案する。自己随伴性を緩め、ハルケル関数やマチエー関数の異なる線形結合を選択することで、ほぼ弾性散乱から完全吸収に至る多様な吸収モデルを、特異点における調整可能な境界条件によって実現可能となる。

ABSTRACT

We discuss a possible approach to the absorption problem in Quantum Mechanics based on using of singular attractive potentials in the corresponding Schrödinger equations. Possible criteria for selection of exact solutions of these equations are considered and it is shown that different models of absorption can be realized by a special choice of exact solutions. As an example, the motion of charged particles in the Aharonov-Bohm (AB) and the scalar attractive $ρ^{-2}$ potentials is investigated in detail. Other attractive potentials are briefly considered.

研究の動機と目的

• 複雑なポテンシャルに依存せず、特異的吸引ポテンシャルを用いて量子力学における吸収問題を扱う。
• 複数の可積分な解が存在する特異的ポテンシャルに対して、一意な解を選ぶ際の曖昧さを解消する。
• 径数シュレーディンガー方程式の特定の解を選択することで、異なる物理的吸収モデルを実現できることを示す。
• 原子干渉計実験に関連する2次元系に、アハロノフ＝ボーム型および$\rho^{-2}$型ポテンシャルを適用する。
• 部分波の電流および漸近的挙動を用いて、弾性散乱モードと非弾性散乱モードを区別できることを示す。

提案手法

• 特異的ポテンシャル$\sim \rho^{-2}$およびアハロノフ＝ボーム型$A_\varphi = \beta/\rho$を伴う径数シュレーディンガー方程式を分析し、ベッセル関数型方程式に帰着する。
• $\nu^2 = (m - \beta)^2 - \gamma^2$の値に基づいて解を分類し、3つの領域に区分する：$|m - \beta| > \sqrt{1 + \gamma^2}$、$\gamma < |m - \beta| < \sqrt{1 + \gamma^2}$、$|m - \beta| < \gamma$。
• 振動的解にはハルケル関数$H^{(1)}_\mu$および$H^{(2)}_\mu$を、特異的領域の解には変形ベッセル関数$H^{(1)}_{i\mu}$を用いる。
• 部分波の径数電流$j_m(\rho)$を評価し、フラックスの挙動を特定し、入射波と出射波の寄与を同定する。
• $\rho \to 0$における漸近的挙動に基づく境界条件の選択により、バランスの取れた入射・出射フラックスを持つ弾性散乱と、出射フラックスが抑制された吸収を区別する。
• 弾性散乱には自己随伴拡張を、吸収には非エルミートハミルトニアンを用い、解の係数$a_m$、$b_m$を調整することで、さまざまな吸収領域をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複雑なポテンシャルに依存せずに、量子散乱における吸収をどのようにモデル化できるか？
• RQ2 特異的ポテンシャルに対して複数の可積分な解が存在する場合、物理的解を一意に選ぶ基準は何か？
• RQ3 径数波動関数の$\rho \to 0$における漸近的挙動が、散乱モードの物理的解釈をどのように決定するか？
• RQ4 異なる吸収モデル（ほぼ弾性から完全吸収まで）を、解の選択によって体系的に実現できるか？
• RQ5 $\rho^{-2}$型およびアハロノフ＝ボーム型ポテンシャルが、2次元系における調整可能な非弾性散乱を可能にする役割は何か？

主な発見

• $|m - \beta| > \sqrt{1 + \gamma^2}$のとき、径数電流は消える。これは、吸収のない完全な弾性散乱を示す。
• $\gamma < |m - \beta| < \sqrt{1 + \gamma^2}$のとき、径数電流は$j_m(\rho) = \frac{2}{\pi M \rho} (|a_m|^2 - |b_m|^2)$で与えられ、吸収はハルケル関数成分の振幅二乗の差に依存することが示される。
• $|m - \beta| < \gamma$のとき、径数電流は$j_m(\rho) = \frac{2}{\pi M \rho} (|a_m|^2 e^{\pi \mu} - |b_m|^2 e^{-\pi \mu})$で与えられ、係数比に指数的感度を示し、強力な吸収制御が可能である。
• 係数$a_m$および$b_m$の選択により散乱行列$S_m$が決定され、$S_m = 0$は完全吸収、$S_m = S_m^{\text{el}}$は弾性散乱に対応する。
• $|m| \leq m_{\text{abs}}$に対して$S_m = 0$、$|m| > m_{\text{abs}}$に対して$S_m = S_m^{\text{el}}$と設定することで、弾性から完全吸収への遷移をモデル化できる。
• 本手法は、表面的特異性（例：$U(\rho) \sim -\kappa e^{-|\rho - \rho_0|/l}/(\rho - \rho_0)^n$を有する$\rho = \rho_0$の円筒）へも拡張可能であり、薄層における吸収をモデル化可能だが、解析的取り扱いは極めて複雑である。