[論文レビュー] Singular Reduction and Quantization

Eckhard Meinrenken, Reyer Sjamaar|ArXiv.org|Jul 30, 1997

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特異なシンプレクティック商に対して「量子化は還元と可換である」定理を拡張する。特異な商のリーマン・ロッホ数を定義するために部分的特異点解消を導入し、その枠組みの下で、前量子 bundle 及びその双対の等長的指数、およびハミルトニアン多様体の算術的 genus が、商が特異であってもシンプレクティック還元に関して不変であることを証明する。

ABSTRACT

Consider a compact prequantizable symplectic manifold M on which a compact Lie group G acts in a Hamiltonian fashion. The ``quantization commutes with reduction'' theorem asserts that the G-invariant part of the equivariant index of M is equal to the Riemann-Roch number of the symplectic quotient of M, provided the quotient is nonsingular. We extend this result to singular symplectic quotients, using partial desingularizations of the symplectic quotient to define its Riemann-Roch number. By similar methods we also compute multiplicities for the equivariant index of the dual of a prequantum bundle, and furthermore show that the arithmetic genus of a Hamiltonian G-manifold is invariant under symplectic reduction.

研究の動機と目的

• シンプレクティック商が特異的である場合、すなわち非特異的である場合に限らない「量子化は還元と可換である」定理を一般化すること。
• インデックス理論的結果を拡張するために不可欠な、特異なシンプレクティック商の意味のあるリーマン・ロッホ数を定義すること。
• 特異的状況下での前量子 bundle の双対の等長的指数の重複度を計算すること。
• 商が特異であっても、ハミルトニアン G-多様体の算術的 genus がシンプレクティック還元に関して不変であることを確立すること。
• 特異還元を扱うための厳密な枠組みを、部分的特異点解消を用いて提供すること。

提案手法

• 特異なシンプレクティック商の部分的特異点解消を導入し、商空間のwell-definedなリーマン・ロッホ数を構成する。
• 元の多様体上の前量子線分束およびその双対にインデックス理論を適用し、等長的指数の G-不変部部分に注目する。
• 等長的 K-理論およびアティヤ＝セゴール完成定理の理論を用いて、元の多様体のインデックスと部分的特異点解消された商のインデックスを関連付ける。
• シンプレクティック構造を制御的に保存するように特異点を解消する解体を構成し、標準的な量子化技法の適用を可能にする。
• 特異点解消プロセスを通じて不変性が保たれることを示すことにより、算術的 genus がシンプレクティック還元に関して不変であることを活用する。
• 部分的特異点解消を介して適応された、軌道空間および特異空間のためのリーマン・ロッホ定理を用いて、商のリーマン・ロッホ数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 「量子化は還元と可換である」定理を特異なシンプレクティック商へ拡張することは可能か？
• RQ2 特異なシンプレクティック商に対してリーマン・ロッホ数を意味的に定義することは可能か？
• RQ3 前量子 bundle の双対の等長的指数は、特異還元下でどのように振る舞うか？
• RQ4 商が特異であっても、ハミルトニアン G-多様体の算術的 genus はシンプレクティック還元に関して不変か？
• RQ5 部分的特異点解消は、特異的状況における幾何的量子化のインデックス理論的結果を一般化するための有効なツールになり得るか？

主な発見

• 本論文は、後者を部分的特異点解消を介して定義した場合、前可量子化可能なハミルトニアン G-多様体の等長的指数の G-不変部が、その特異なシンプレクティック商のリーマン・ロッホ数に等しいことを確立した。
• 著者らは、前量子 bundle の双対の等長的指数の重複度が、特異還元下でも保存されることを証明し、既知の結果を特異的状況へ拡張した。
• ハミルトニアン G-多様体の算術的 genus は、商が特異であってもシンプレクティック還元に関して不変であり、特異点解消法によって示された。
• 部分的特異点解消を用いることで、特異なシンプレクティック商のリーマン・ロッホ数はwell-definedかつ計算可能であり、非特異的状況への一貫した一般化を提供する。
• この枠組みにより、「量子化は還元と可換である」原則が特異商へ一般化され、幾何的量子化理論における長年のギャップが解消された。
• 結果は正式に『トポロジー』第38巻、Issue 4、1999年に出版されており、このアプローチの数学的厳密性と受容性を裏付けている。