[論文レビュー] Singular solutions for coercive quasilinear elliptic inequalities with nonlocal terms

Roberta Filippucci, Marius Ghergu|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、重み付きmラプラシアンと非局所項を含む非線形楕円型不等式に対する正の特異解の存在に関する鋭い条件を、リーマン・ゼータ型積分（リーマン・ポテンシャル）を用いて確立する。事前推定、ハルナック型不等式、畳み込み解析を用いて、m、N、α、β、p、q に依存する正確なパラメータ閾値を導出し、特異解の原点近傍における漸近的挙動を、基本解に一致するか、臨界指数σによって制御されるべきべき則的特異性を示す。

ABSTRACT

We study the inequality $$ { m div}\big(|x|^{-\alpha}| abla u|^{m-2} abla u\big)\geq (I_\beta\ast u^p)u^q \quad\mbox{ in } B_1\setminus\{0\}\subset {\mathbb R}^N, $$ where $\alpha>0$, $N\geq 1$, $m>1$, $p, q>m-1$ and $I_\beta$ denotes the Riesz potential of order $\beta\in(0, N)$. We obtain sharp conditions in terms of these parameters for which positive singular solutions exist. We further establish the asymptotic profile of singular solutions to the double inequality $$ a(I_\beta\ast u^p)u^q\geq { m div}\big(|x|^{-\alpha}| abla u|^{m-2} abla u\big)\geq b(I_\beta\ast u^p)u^q \quad\mbox{ in } B_1\setminus\{0\}\subset {\mathbb R}^N, $$ where $a\geq b>0$ are constants.

研究の動機と目的

• 穿孔球体内における非局所項を含む非線形楕円型不等式の特異解の存在および漸近的プロファイルを扱う。
• 重み付きmラプラシアンとリーマン・ポテンシャルを含む不等式に対して、正の特異解が存在するための正確なパラメータ条件を特定する。
• 原点近傍における解の発散挙動を、基本解に類似するものとより強いべき則的特異性のものに区別して特徴付ける。
• 局所的なべき則型非線形項から、リーマン・ポテンシャルとの畳み込みを介した非局所相互作用へと結果を拡張する。
• m、N、α、β、p、q に関する鋭い閾値を提示し、チョクーチュル型方程式に関する既知の結果を一般化する。

提案手法

• 重み付きmラプラシアン不等式の解に対して、ケラー＝オッシャーマン型およびハルナック型不等式に基づく事前推定を用いる。
• 径対称な比較関数と最大原理を用いて、下界解を構成し、原点近傍における成長を制御する。
• リーマン・ポテンシャルの畳み込み項 (Iβ ∗ up) を、対数およびべき乗重み付き積分を含む精密な点ごとの推定で解析する。
• 解の漸近的挙動を分類するための臨界指数 σ = (m + α + β)/(p + q − m + 1) を定義する。
• 吹き上がり解析とスケーリング議論を用いて、二つの可能な特異的プロファイル（基本解 Φm,α に一致するか、|x|−σ に一致するか）を区別する。
• 技術的積分推定（補題2.10）を用いて、特に対数的および特異的領域においてリーマン・ポテンシャルの畳み込みを評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不等式 div(|x|−α|∇u|m−2∇u) ≥ (Iβ ∗ up)uq が B1 \ {0} で成り立つ正の特異解が存在するためのパラメータ m、N、α、β、p、q の鋭い条件は何か？
• RQ2 非局所項 (Iβ ∗ up) と重み付きmラプラシアンとの相互作用が、特異解の漸近的挙動にどのように影響するか？
• RQ3 どのような条件下で特異解が基本解 Φm,α(x) に類似し、またどのような条件下で |x|−σ の形のより強い特異性を示すか？
• RQ4 指数 σ = (m + α + β)/(p + q − m + 1) は、解の吹き上がりプロファイルを分類するために果たす役割は何か？
• RQ5 二重不等式 a(Iβ ∗ up)uq ≥ div(|x|−α|∇u|m−2∇u) ≥ b(Iβ ∗ up)uq の解の漸近的挙動は、σ およびパラメータを用いて完全に特徴付けられるか？

主な発見

• N ≤ m + α であれば、q > m − 1 の条件下で、p や q にかかわらずすべてのパラメータに対して特異解が存在する。
• N > m + α のとき、特異解が存在するのは、(1.5)に示される三つの条件がすべて満たされる場合に限る：max{p, q} < N(m−1)/(N−m−α)、p + q < (N+β)(m−1)/(N−m−α)、および N − 2m < 2α + β。
• σp < N を満たす不等式 (1.2) の任意の特異解は、漸近的に Φm,α(x) または |x|−σ のいずれかに一致する。これは σp と β の相対的な大きさに依存する。
• σp > β であれば、より強い特異性は |x|−σ である。σp < β であれば、|x|−(m+α)/(q−m+1) である。
• 局所的べき則型非線形項（例：|x|−θuq）に関する既知の結果と一致するが、非局所項の存在により、吹き上がり率の正確な特徴付けは不可能である。
• 補題2.10を用いて、リーマン・ポテンシャルの畳み込みに対する明示的な下界および上界が確立され、これが存在性およびプロファイルに関する結果の証明に不可欠である。