[論文レビュー] Singular solutions in optimal control: second order conditions and a shooting algorithm

M. Soledad Aronna|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2012

Optimization and Variational Analysis被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、混合アフィンおよび非線形制御を含むアフィン最適制御問題における弱最適性の'ギャップなし'の2次必要・十分条件を確立する。また、十分2次条件によって局所的2次収束が保証されるシューティング法を提案し、乗数の一意性を仮定しないで特異制御の数値的手法を拡張する。

ABSTRACT

In this article we study optimal control problems for systems that are affine in one part of the control variable. Finitely many equality and inequality constraints on the initial and final values of the state are considered. We investigate singular optimal solutions for this class of problems. First, we obtain second order necessary and sufficient conditions for weak optimality. Afterwards, we propose a shooting algorithm and show that the sufficient condition above-mentioned is also sufficient for the local quadratic convergence of the algorithm.

研究の動機と目的

• 制御変数の一部に関してアフィンな最適制御問題における弱最適性の2次必要・十分条件を導出すること。
• 既存のシューティング法における収束保証の欠如を是正し、理論的裏付けを提供すること。
• ラグランジュ乗数の一意性を仮定しないで特異最適制御問題を扱えるように数値アルゴリズムを拡張すること。
• 2次十分条件とシューティング法の局所的収束性の間の関係を確立すること。

提案手法

• 論文はGohの変換を用いて最適性の2次条件を再定式化する。
• ラグランジアンの2次変動の非負性を分析することで、新たな2次必要条件を導出する。
• 1次最適性条件から生じる两点境界値問題を解くシューティング法を提案する。
• 提案された2次十分条件のもとで、アルゴリズムが局所的かつ2次的に収束することが示される。
• 最適性条件から導かれる非線形方程式系を解くために、ガウス＝ニュートンフレームワークを活用する。
• Gohの変換による元変数と補助変数の間の変換により、より取り扱いやすい形での同値な必要・十分条件の導出が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンおよび非線形制御を含む最適制御問題における弱最適性の2次必要・十分条件は何か？
• RQ2 このような特異制御問題に対して、局所的収束を保証するシューティング法をどのように設計し、証明できるか？
• RQ3 2次十分条件がシューティング法の局所的2次収束を十分条件として果たせるか？
• RQ4 Gohの変換は、2次最適性条件の導出および検証において果たす役割は何か？
• RQ5 提案手法は、制御の上限・下限を伴う制御制約付き問題にどのように拡張可能か？

主な発見

• 論文は、'ギャップなし'の2次条件のペア——必要と十分——を確立する。すなわち、十分条件は不等号を厳しくすることで必要条件を強化する。
• 2次十分条件は、提案されたシューティング法の局所的2次収束を保証し、その数値的性能に対する理論的根拠を提供する。
• ラグランジュ乗数の一意性を仮定しないで結果が成り立つため、非一意乗数のケースへの適用範囲が広がる。
• 2次十分条件が満たされれば、シューティング法が局所的に収束することが証明され、収束速度は2次レートに従う。
• 適切な幾何的仮定のもとで、制御の境界を伴う問題への拡張が可能であることが、拡張の注意事項によって示されている。
• 特殊な場合（例：m=0 または l=0）において、導出された条件が既存の結果と一致することを確認し、一貫性を検証した。