[論文レビュー] Singular solutions of fractional elliptic equations with absorption

Huyuan Chen, Лаурент Верон|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、吸収項を伴う分数階楕円型方程式の特異解を調査し、特に $Ω \setminus \{0\}$ で定義された方程式 $(-Δ)^\alpha u + |u|^{p-1}u = 0$ を対象とする。$Ω$ 外部ではゼロDirichlet境界条件が課され、原点で無限大に発散する。解の存在、一意性、および正確な漸近的挙動を、指数 $p$ に応じて特定し、解が $|x|^{-2\alpha/(p-1)}$ または $|x|^{2\alpha - N}$ の形に近づくかどうかを決定する臨界閾値を同定する。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study the singular solutions to fractional elliptic equations with absorption $$ \left\{\arraycolsep=1pt \begin{array}{lll} (-Δ)^αu+|u|^{p-1}u=0,\quad & m{in}\quadΩ\setminus\{0\},\\[2mm] u=0,\quad & m{in}\quad \R^N\setminusΩ,\\[2mm] \lim_{x o 0}u(x)=+\infty, \end{array} ight. $$ where $p>0$, $Ω$ is an open, bounded and smooth domain of $\R^N\ (N\ge2)$ with $0\inΩ$. We analyze the existence, nonexistence, uniqueness and asymptotic behavior of the solutions.

研究の動機と目的

• 原点を含む有界領域 $\Omega$ における分数階楕円型方程式の特異解の存在と漸近的挙動を分析すること。
• 特に分数ラプラシアン $(-\Delta)^\alpha$（$\alpha \in (0,1)$）を用いた、孤立特異点である原点近傍における解の正確な発散速度を特定すること。
• 特定のべき法則を除き、中間的または非臨界の発散速度を持つ特異解の非存在を示すこと。
• 特異解の存在と非存在の領域を分かつ臨界指数 $p$ を特徴づけること。

提案手法

• 著者らは、特異点 $x=0$ 近傍での正しい漸近的挙動を捉えるために、下界解と上界解の方法を用いる。
• $\tau \in (-N, 0)$ の関数 $|x|^{-\tau}$ の挙動を分析し、特に $\tau = \frac{2\alpha}{p-1}$ および $\tau = N - 2\alpha$ を焦点として、期待される発散速度と一致させる。
• 分数ラプラシアン $(-\Delta)^\alpha$ は積分表現を用いて取り扱い、Riesz積分の性質と $|x|^{-\tau}$ の正則性を用いて点ごとの推定を行う。
• 鍵となる技術として、原点近傍で解を支配し、弱い意味で方程式を満たす明示的な上界解 $W_{\mu,t}$ および $U_{\mu,t}$ を構成する。
• 証明は比較原理に依拠し、異なる $t$ 値に対して異なる上界解を用いることで、非臨界発散速度を持つ解の非存在を背理法で示す。
• 解析は、$p$ の値に基づく三つの場合に分ける：$1 + \frac{2\alpha}{N} < p < \frac{N}{N-2\alpha}$、$0 < p < \frac{N}{N-2\alpha}$、$p \geq \frac{N}{N-2\alpha}$。各場合で異なる漸近的挙動を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特異解が原点で発散するような $p > 0$ の値はどれか？ すなわち、分数階楕円型方程式 $(-\Delta)^\alpha u + |u|^{p-1}u = 0$ が正の特異解を有するための $p$ の値は？
• RQ2 このような特異解の孤立特異点 $x=0$ 近傍での正確な漸近的挙動は何か？
• RQ3 発散速度が $|x|^{-2\alpha/(p-1)}$ または $|x|^{2\alpha - N}$ でない解が存在可能か？もし不可能ならば、その理由は？
• RQ4 $p = 1 + \frac{2\alpha}{N}$ および $p = \frac{N}{N-2\alpha}$ という臨界指数が、特異解の存在および一意性にどのように影響するか？

主な発見

• $1 + \frac{2\alpha}{N} < p < \frac{N}{N-2\alpha}$ の場合、ある $C > 0$ に対して $\lim_{x \to 0} u(x) |x|^{2\alpha/(p-1)} = C$ を満たす一意な正の解 $u$ が存在し、liminf-limsup 条件の意味で一意性が保証される。
• $0 < p < \frac{N}{N-2\alpha}$ の場合、任意の $t > 0$ に対して、$\lim_{x \to 0} u(x) |x|^{N - 2\alpha} = t$ を満たす正の解が存在し、この発散速度を持つ一パラメータ族の解が存在する。
• 任意の $\tau \in (-N, 0) \setminus \{2\alpha - N, -\frac{2\alpha}{p-1}\}$ に対して、$\liminf_{x \to 0} u(x) |x|^{-\tau} > 0$ かつ $\limsup_{x \to 0} u(x) |x|^{-\tau} < \infty$ を満たす解は存在しない。これは、非臨界発散速度に対する非存在を示す。
• $p \geq \frac{N}{N-2\alpha}$ の場合、臨界発散速度 $\tau = 2\alpha - N$ ですら、正の有限な liminf-limsup を持つ解を支持しない。これは、解の存在に対する鋭い閾値を示している。
• $\frac{2\alpha}{N - 2\alpha} < p < \frac{N}{N - 2\alpha}$ の場合、解は $\left| t|x|^{2\alpha - N} - u(x) \right| \leq C |x|^{\tau_1}$ という精密な推定 $\tau_1 = 2\alpha - (N - 2\alpha)p < 0$ を満たし、主項に収束することが示される。
• (i) の場合の解 $u$ は、すべての $x \in \Omega \setminus \{0\}$ に対して $|u(x) - C_1 |x|^{-2\alpha/(p-1)}| < C_2$ を満たし、特異的プロファイルによる一様近似が確認される。