[論文レビュー] Singular traces, dimensions, and Novikov-Shubin invariants

Daniele Guido, Tommaso Isola|ArXiv.org|Jul 1, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、|D|⁻ᵈ の特異トレースを通じて次元 d を幾何的測度論的定義し、|D|⁻¹ の固有値の多項式的減衰率が d を一意に定めることを示している。さらに、被覆多様体におけるノヴィコフ＝シュービン不変量 αₚ が、零点における Δₚ⁻¹/² の多項式的次数の逆数に一致することを証明し、特異トレース可能性と結びつけ、対数的トレースが失敗する場合でさえも非自明な統合手続きを提供する。

ABSTRACT

In Alain Connes noncommutative geometry, the question of the existence of a non-trivial integral can be described in terms of the singular traceability of the compact operator |D|^(-d), D being the Dirac operator, namely of the existence of a finite non-trivial singular trace on the ideal generated by |D|^(-d). A condition on the non triviality of the Dixmier logarithmic trace on the above mentioned ideal has been given by Connes in terms of the cohomological dimension of the Chern character of the phase of D. In this paper we show that, under suitable regularity conditions on the eigenvalue sequence of |D|, the dimension d can be uniquely determined by imposing that |D|^(-d) is singularly traceable, thus providing a geometric measure theoretic definition for d. More precisely, defining d as the inverse of the polynomial order of |D|^(-1), the operator |D|^(-d) always produces a singular trace which gives rise to a non-trivial integration procedure, even when the logarithmic trace fails. In the second part of the paper we discuss large scale counterparts of the geometric measure theoretic dimension for the case of covering manifolds. We prove that in the case of the coverings studied by Atiyah, the inverse of the polynomial order at 0 of Delta_p^(-1/2), defined via the Atiyah trace, coincides with the Novikov-Shubin number alpha_p. As a consequence, Novikov- Shubin numbers can be considered as (asymptotic) dimensions in the sense of geometric measure theory, since the corresponding power of Delta_p^(-1/2) produces a singular trace. Generalizations of the mentioned results on covering manifolds to the case of open manifolds with bounded geometry are studied in math/9809040

研究の動機と目的

• コンパスの対数的トレース条件に依存しない、|D|⁻ᵈ の特異トレース可能性による非可換幾何学における次元 d の定義。
• |D|⁻¹ の固有値の減衰の多項式的次数の逆数として d を幾何的測度論的解釈すること。
• 被覆多様体上の特異トレースを関連付けることで、大規模幾何学への次元概念の拡張。
• 零点における Δₚ⁻¹/² の多項式的次数の逆数がノヴィコフ＝シュービン数 αₚ に一致することを示し、αₚ を漸近的次元として同定すること。

提案手法

• |D|⁻¹ の固有値の減衰の多項式的次数の逆数として d を定義し、|D|⁻ᵈ が特異トレース可能であることを保証する。
• アティヤのトレースを用いて、被覆多様体上でのリゾルベント Δₚ⁻¹/² の漸近的挙動を定義する。
• Δₚ⁻¹/² を -αₚ⁻¹ 乗した特異トレースが非自明であることを確立し、ノヴィコフ＝シュービン不変量と結びつける。
• |D| の固有値列に正則性条件を適用し、特異トレースの一意性と有限性を保証する。
• チェーン・キャラクターとコhomological次元を用いて、トレースの非自明性を位相的不変量と関連付ける。
• 数学/9809040 で調べられたように、被覆多様体からの結果を有界幾何をもつ開多様体へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換幾何学における次元 d は、対数的トレースに依存せず、特異トレース可能性によって定義可能か？
• RQ2 |D|⁻¹ の固有値の多項式的減衰率の逆数が、|D|⁻ᵈ に対して非自明な特異トレースを生じるのに十分か？
• RQ3 被覆多様体におけるノヴィコフ＝シュービン数 αₚ は、零点における Δₚ⁻¹/² の多項式的次数の逆数に一致するか？
• RQ4 被覆多様体上の特異トレースを用いて、漸近的幾何的測度論的次元を定義可能か？
• RQ5 |D|⁻ᵈ の特異トレース可能性は、D の位相のチェーン・キャラクターのコhomological次元とどのように関係するか？

主な発見

• 次元 d は、|D|⁻¹ の固有値の減衰の多項式的次数の逆数として一意に定まり、|D|⁻ᵈ が特異トレース可能であることを保証する。
• ディクスミエの対数的トレースが消える場合でさえも、提案された定義のもとで |D|⁻ᵈ の特異トレースは非自明のままである。
• アティヤの被覆多様体において、Δₚ⁻¹/² の零点における多項式的次数の逆数がノヴィコフ＝シュービン数 αₚ に一致する。
• ノヴィコフ＝シュービン数 αₚ は、特異トレース可能性を通じて幾何的測度論的漸近的次元として同定される。
• 特異トレース手続きは、対数的トレースが失敗する場合でさえも、|D|⁻ᵈ が生成するイデアル上で非自明な統合手法を提供する。
• 結果は、有界幾何をもつ開多様体へ一般化され、被覆空間を超えた枠組みへ拡張される。