[論文レビュー] Singular Tur\'an numbers and WORM-colorings

Dániel Gerbner, Balázs Patkós+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、すべての $n \equiv 0 \pmod{4}$ および $n \equiv 1 \pmod{4}$ に対して、正確な単一のターラン数 $T_S(n, K_3)$ を決定し、$r$ で割り切れる十分大きな $n$ に対して $T_S(n, K_{r+1}) = t'(n, r^2)$ を確立することで、これまで漸近的結果しか得られていなかった正確な値を解明した。さらに、単一のターラン数と $H$-WORM 2色塗り分けの関係を明らかにし、正則ターラン問題を提唱し、非二部グラフ $F$ に対して $Σ ext{rex}(n,F)$ の二次下界を証明した。主な貢献は、正確な単一ターラン数のギャップを埋め、WORM 2色塗り分けおよび正則グラフ極値問題と結びつけたことにある。

ABSTRACT

A subgraph $H$ of $G$ is \ extit{singular} if the vertices of $H$ either have the same degree in $G$ or have pairwise distinct degrees in $G$. The largest number of edges of a graph on $n$ vertices that does not contain a singular copy of $H$ is denoted by $T_S(n,H)$. Caro and Tuza [Theory and Applications of Graphs, 6 (2019), 1--32] obtained the asymptotics of $T_S(n,H)$ for every graph $H$, but determined the exact value of this function only in the case $H=K_3$ and $n\\equiv 2$ (mod 4). We determine $T_S(n,K_3)$ for all $n\\equiv 0$ (mod 4) and $n\\equiv 1$ (mod 4), and also $T_S(n,K_{r+1})$ for large enough $n$ that is divisible by $r$. We also explore the connection to the so-called $H$-WORM colorings (colorings without rainbow or monochromatic copies of $H$) and obtain new results regarding the largest number of edges that a graph with an $H$-WORM coloring can have.

研究の動機と目的

• すべての $n \equiv 0 \pmod{4}$ および $n \equiv 1 \pmod{4}$ に対して、単一ターラン数 $T_S(n, K_3)$ の正確な値を決定し、これまでの漸近的結果を拡張する。
• 十分大きな $n$ で $r$ で割り切れる場合に、$T_S(n, K_{r+1})$ の正確な値を確立し、長年の正確な単一ターラン数のギャップを解消する。
• 単一ターラン数と $H$-WORM 2色塗り分けの関係を調査し、特にこのような2色塗り分けを持つグラフにおける辺数の最大値を評価する。
• 正則ターラン問題を提唱し、$n$ 頂点の $F$-自由な正則グラフにおける辺数の最大値を $\mathrm{rex}(n,F)$ として定義する。

提案手法

• ターランの定理と $K_5$-自由グラフの構造的解析を用いて、上界を改善することで $T_S(n, K_3)$ の正確な値を証明する。
• 制御された部のサイズを持つ完全 $r^2$-部グラフを構築することで、$r$ で割り切れる十分大きな $n$ に対して $T_S(n, K_{r+1}) = t'(n, r^2)$ を達成する。
• 単一の $K_{r+1}$ を避けるためには $K_{r^2+1}$-自由であることが必要であり、ターラングラフを基本構成として活用する。
• $H$-WORM 2色塗り分けを実現するため、部のサイズがすべて異なる完全 $r$-部グラフ $T^*(n,r)$ を導入する。
• 部内に正則な $F$-自由グラフを追加することで、2色塗り分けの整合性を保ち、部間での次数の衝突を回避する。
• Erdős–Sachs の定理を応用して高周囲長の正則グラフを構成し、$F$ が奇数の周囲長 $g$ を持つ場合に $Σ ext{rex}(n,F)$ に対して二次下界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \equiv 0 \pmod{4}$ および $n \equiv 1 \pmod{4}$ の場合に、既知の漸近的境界を超えて $T_S(n, K_3)$ の正確な値は何か？
• RQ2 どの $n$ と $r$ に対して $T_S(n, K_{r+1})$ が、単一の $K_{r+1}$ を含まない完全 $r^2$-部グラフにおける辺数の最大値 $t'(n, r^2)$ に等しくなるか？
• RQ3 単一ターラン数と $H$-WORM 2色塗り分けの関係は何か？ 一方の問題の極値グラフが他方の問題の境界を評価するために利用可能か？
• RQ4 $n$ 頂点の $F$-自由正則グラフにおける辺数の最大値は何か？ これは極値グラフ理論とどのように関連するか？
• RQ5 非二部グラフ $F$ に対して $Σ ext{rex}(n,F)$ に二次下界を確立可能か？ また、$F$ の奇数の周囲長に依存する関係は何か？

主な発見

• $k \geq 2$ の $n = 4k$ に対して $T_S(4k, K_3) = 6k^2 - 2$ であり、$T_S(4, K_3) = 5$ である。$n \equiv 0 \pmod{4}$ の場合のギャップが埋まった。
• $n = 4k+1$ に対して $T_S(4k+1, K_3) = 6k^2 + 2k$ であり、この剰余類の正確な値が得られた。
• $n \equiv 3 \pmod{4}$ の場合、$6k^2 + 8k + 1 \leq T_S(4k+3, K_3) \leq 6k^2 + 8k + 3$ とされ、ギャップが 2 に縮小された。
• 十分大きな $n$ で $r$ で割り切れる場合、$T_S(n, K_{r+1}) = t'(n, r^2)$ が成り立ち、ここで $t'(n, r^2)$ は $r$ 種類の部のサイズを持ち、各サイズが $r$ 回ずつ出現し、部のサイズの差が最大 $r$ である完全 $r^2$-部グラフにおける辺数の最大値である。
• $T^*(n,r)$ を部のサイズがすべて異なる完全 $r$-部グラフとして構築することで、頂点の次数が有効な $H$-WORM 2色塗り分けを誘導し、$\mathrm{wex}(n,F)$ の新たな境界が得られた。
• 任意の奇数の周囲長 $g$ を持つ非二部グラフ $F$ に対して、$\mathrm{rex}(n,F) \geq n^2/(g+6) - O(n)$ が成り立ち、正則ターラン問題に対する二次下界が確立された。