[論文レビュー] Singular Units and Isogenies Between CM Elliptic Curves

Yingkun Li|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、高度なモジュラー形式およびアラケロフ理論を用いて、複素乗法を持つ楕円曲線の主要な不変量である特異モジュラーの差が、いつでも代数的単数でないことを証明する。グロス＝ザイエルおよびグロス＝コハネン＝ザイエルの定理を、高次グリーン関数およびモジュラー多項式のノルムに適用することで、これらの差の対数ノルムに対して非自明な下界を確立し、特異モジュラーの非単数性に関する長年の未解決問題を解決するとともに、CM曲線間の同種関係へと拡張する。

ABSTRACT

In this note, we will apply the results of Gross-Zagier, Gross-Kohnen-Zagier and their generalizations to give a short proof that the differences of singular moduli are not units. As a consequence, we obtain a result on isogenies between reductions of CM elliptic curves.

研究の動機と目的

• 特異モジュラーの非単数性に関する予想を解き、以前の結果が大きな判別式に限られていたのを拡張する。
• 解析的整数論を用いて、特異モジュラーの差の対数ノルムに対する定量的下界を確立する。
• CM点のすべてのペアおよびすべての同種度 m ≥ 1 に対して、非単数性の結果を一般化する。
• 高次グリーン関数およびモジュラー多項式の因数分解を用いて、CM楕円曲線の文脈で有効な境界を導出する。
• ある素数を法とするCM楕円曲線の還元が、常にm-同種であることを示し、算術幾何学とモジュラー形式を結びつける。

提案手法

• グロス＝ザイエルの公式を適用し、ヘッケ対応関係に関連する非負の項の和として、モジュラー多項式の対数ノルムを表現する。
• グロス＝コハネン＝ザイエルの定理を用いて、同じ和を高次グリーン関数の値として再解釈し、それが非ゼロであることが知られていることを用いる。
• 高次グリーン関数のポincare級数構成を用いて正値性と非ゼロ性を保証し、和のすべての項がゼロでないことを示す。
• 距離とm番目のヘッケ対応関係に依存する、第二種のルジャンドル関数 Q_{k-1}(cosh(√2ε)) を用いて下界を導出する。
• ガロア共役対 (Z(W)) とヘッケグラフ (T_{m,ε}) のε近傍との交わりを用いて、境界が正であることを保証する。
• 弱正則モジュラー形式および非一様イーゼンスタイン級数の理論を用いてフーリエ係数を計算し、モジュラー多項式のノルムと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CM判別式が両方とも変化するときでさえ、特異モジュラーの差が代数的単数になることはあり得るか？
• RQ2 モジュラー多項式の値がCM点において、有効な下界を対数ノルムに対して確立できるか？
• RQ3 CM楕円曲線の文脈において、ガロア共役対の交わりとヘッケ対応関係の間の算術的意味は何か？
• RQ4 高次グリーン関数の非ゼロ性が、特異モジュラーの差の構造にどのように制限を加えるか？
• RQ5 CM楕円曲線の還元が有限体上ですべての同種度で同種になる条件は何か？

主な発見

• 任意のCM点 z₁, z₂ および任意の m ≥ 1 に対して、モジュラー多項式 φₘ(j(z₁),j(z₂)) のノルムは、単数でないことが示され、マッサーの予想が解決された。
• 非自明な下界が確立された： log|Nm(φₘ(j(z₁),j(z₂)))| ≥ |Z(W) ∩ T_{m,ε}| · Q₂(cosh(√2ε)) 任意の ε > 0 に対して成り立つ。
• この境界は有効であり、ガロア共役対 (Z(W)) とm番目のヘッケ対応関係 (T_{m,ε}) のε近傍との交わりの個数に依存する。
• この結果により、任意のCM楕円曲線 E₁, E₂ に対して、合成クラス体におけるある素数 p が存在し、E₁ と E₂ は法 p で m-同種であることが保証される。
• 証明手法は、すべての m ≥ 1 および両方の判別式が変化する場合にまで拡張可能であり、以前の研究で必要とされた個別的なコンピュータチェックを回避する。
• 高次グリーン関数の非ゼロ性により、グロス＝ザイエルの公式における和の正値性が保証され、これが下界を導出する上で鍵となる。