[論文レビュー] Singularities from the Topology and Differentiable Structure of Asymptotically Flat Spacetimes

Kristin Schleich, Donald Witt|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2010

Geometric and Algebraic Topology被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、5次元以上における漸近的に平坦な時空に対して、新たな特異性定理を確立し、滑らかなコンpakト化を用いて定義される非正の最大ヤマベ不変量を持つ初期データ—支配的エネルギー条件を満たす—は、特異性を形成するように崩壊するべきであることを証明する。この結果は、非自明な位相的構造や微分構造を有する時空、例えば単連結多様体や非自明なセイバーグ・ワトソン不変量を持つ多様体を含むが、Gannonの定理が非単連結なコーシー面にのみ適用可能であったのとは異なり、それらを拡張する。

ABSTRACT

We prove that certain asymptotically flat initial data sets with nontrivial topology and/or differentiable structure collapse to form singularities. The class of such initial data sets is characterized by a new smooth invariant, the maximal Yamabe invariant, defined through smooth compactification of the asymptotically flat manifold. Our singularity theorem applies to spacetimes admitting a Cauchy surface of nonpositive maximal Yamabe invariant with initial data that satisfies the dominant energy condition. This class of spacetimes includes simply connected spacetimes with a single asymptotic region, a class not covered by prior singularity theorems for topological structures. The maximal Yamabe invariant can be related to other invariants including, in 4 dimensions, the A-genus and the Seiberg-Witten invariants. In particular, 5-dimensional spacetimes with asymptotically flat Cauchy surfaces with non-trivial Seiberg-Witten invariants are singular. This singularity is due to the differentiable structure of the manifold.

研究の動機と目的

• 5次元以上の漸近的に平坦な時空における非自明な位相的および微分的構造が特異性を引き起こすかどうかという未解決問題に取り組む。
• Gannonの結果に依存する従来の特異性定理（4次元における非単連結な3次元多様体にのみ適用可能）を超えて、特異性定理を拡張する。
• 滑らかなコンパクト化を用いて漸近的に平坦な多様体のための最大ヤマベ不変量を定義し、特異性形成に適した時空を特徴付ける滑らかさの不変量として利用する。
• 特異性が位相的要因だけでなく、異常な微分構造からも生じ得ることを示し、一般相対性理論における新たなメカニズムを同定する。
• 外部領域の領域が正の最大ヤマベ不変量を持つべきである条件を確立し、おそらくは強化された位相的遮断定理に繋がる。

提案手法

• 漸近的に平坦な多様体に対して、各漸近的領域にn次元球体を付加して閉じた多様体を形成し、その結果得られる閉じた多様体のヤマベ不変量を用いて、漸近的に平坦な多様体の最大ヤマベ不変量を定義する。
• 最大ヤマベ不変量を滑らかな不変量として用い、初期データセットを分類し、非正の値は特異性形成の可能性を示唆する。
• コーシー面が非正の最大ヤマベ不変量を持つことと支配的エネルギー条件を満たす時空に対して、新たな特異性定理（定理10）を証明する。
• 4次元における既知の不変量（例えばÂ-特性類やセイバーグ・ワトソン不変量）と最大ヤマベ不変量を関連付けることで、既存の微分位相幾何学と接続する。
• 非自明なセイバーグ・ワトソン不変量を持つ5次元の漸近的に平坦なコーシー面を有する時空に、定理を適用し、それらが特異的でなければならないことを証明する。
• グローマー＝ロウソンおよびストルツの正スカラー曲率の障害に関する結果を用い、高次元における異常球体およびそのコンパクト化の挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 5次元以上における非自明な位相的構造や微分構造を有する時空が、コーシー面が単連結であっても特異性を形成するおそれがあるか？
• RQ2 滑らかなコンパクト化を用いて定義される最大ヤマベ不変量は、漸近的に平坦な時空における特異性形成の十分条件を提供するか？
• RQ3 特異性が基本群とは独立して、コーシー面の微分構造から生じ得るか？
• RQ4 最大ヤマベ不変量は、4次元における位相的不変量（例えばÂ-特性類やセイバーグ・ワトソン不変量）とどのように関係するか？
• RQ5 定理10は、位相的遮断定理に類似して、外部領域の領域が正の最大ヤマベ不変量を持つべきであることを示唆するように強化可能か？

主な発見

• 本稿は、5次元以上における漸近的に平坦な時空に対して、コーシー面が非正の最大ヤマベ不変量を持つことと支配的エネルギー条件を満たす場合に適用可能な新たな特異性定理（定理10）を証明する。
• 最大ヤマベ不変量は、漸近的に平坦な多様体の滑らかなコンパクト化を用いて定義され、ヤマベ理論が非コンパクトな設定へ拡張可能であることを可能にする。
• 4次元では最大ヤマベ不変量はÂ-特性類やセイバーグ・ワトソン不変量と関連し、非自明なセイバーグ・ワトソン不変量を持つ時空における特異性の検出が可能になる。
• 定理は、非自明な基本群を必要としない無限個の単連結5次元時空にまで適用可能であり、Gannonの定理が要求する非自明な基本群の条件を超えて拡張される。
• 特異性は、位相的要因だけでなく、異常な微分構造からも生じ得る。これは、従来の位相のみに依存する定理では捉えきれない、一般相対性理論における新たなメカニズムである。
• 最大ヤマベ不変量が非正である場合、すべてのコーシー面上に見かけの事象の球面が存在することを定理が示唆する。これは、Gannonの定理における条件よりも強い。