[論文レビュー] Singularities in mixed characteristic via big Cohen-Macaulay algebras

Linquan Ma, Karl Schwede|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2018

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、最近の弱い関手的perfectoid代数に関する結果を活用し、ビッグコhen-Macaulay代数を用いて、有理的、$F$-有理的、対数端的な、および$F$-正則特異点の混合特異的特徴の類似物を導入する。これらの特異点についての変形および制限定理を確立し、算術的族における$F$-正則および$F$-有理的特異点に関する新しい結果を示す。

ABSTRACT

We utilize a recent result of Andr\'e and Gabber on the existence of weakly functorial (integral perfectoid) big Cohen-Macaulay (BCM) algebras to study singularities of local rings in mixed characteristic. In particular, we introduce a mixed characteristic BCM-variant of rational/$F$-rational singularities, of log terminal/$F$-regular singularities and of multiplier/test ideals of divisor pairs. We prove a number of results about these objects including a restriction theorem for BCM multiplier/test ideals and deformation statements for BCM-regular and BCM-rational singularities. As an application, we obtain results on the behavior of $F$-regular and $F$-rational singularities in arithmetic families.

研究の動機と目的

• ビッグコhen-Macaulay代数を用いて、有理的および$F$-有理的特異点の理論を混合特異的環へと拡張すること。
• 除数対に対して、混合特異的における倍乗イデアルおよびテストイデアルの適切な類似物を定義すること。
• BCM正則およびBCM有理的特異点についての変形および制限定理を確立すること。
• これらの結果を応用し、算術的族における$F$-正則および$F$-有理的特異点の挙動を理解すること。

提案手法

• アンドレとガブレの最近の結果（弱い関手的整数的perfectoidビッグコhen-Macaulay代数）を活用すること。
• これらの代数を用いて、有理的および$F$-有理的特異点の混合特異的バージョンを定義すること。
• 混合特異的における除数対に対してBCM倍乗イデアルおよびBCMテストイデアルを導入すること。
• 平坦な基底変換の下でBCM倍乗イデアル／テストイデアルに制限定理が成り立つことを証明すること。
• 小変形の下でBCM正則およびBCM有理的特異点についての変形定理を確立すること。
• この枠組みを用いて、算術的族における$F$-正則および$F$-有理的特異点を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的および$F$-有理的特異点は、どのように混合特異的局所環へ一般化できるか？
• RQ2 混合特異的における倍乗イデアルおよびテストイデアルの適切な類似物は何か？
• RQ3 平坦な基底変換の下でBCM倍乗イデアル／テストイデアルは制限定理を満たすか？
• RQ4 BCM正則およびBCM有理的特異点は、族の中で変形可能か？
• RQ5 算術的族における$F$-正則および$F$-有理的特異点の挙動はいかなるものか？

主な発見

• ビッグコhen-Macaulay代数を用いて、有理的および$F$-有理的特異点の混合特異的バージョンが定義された。
• 論文は、混合特異的における除数対に対してBCM倍乗イデアルおよびBCMテストイデアルを構成した。
• 平坦な基底変換の下でBCM倍乗イデアルおよびテストイデアルに制限定理が確立された。
• 混合特異的におけるBCM正則およびBCM有理的特異点について、変形定理が証明された。
• この枠組みにより、算術的族における$F$-正則および$F$-有理的特異点の挙動に関する新しい結果が得られた。