[論文レビュー] Singularities in the Bethe solution of the XXX and XXZ Heisenberg spin chains

Rahul Siddharthan|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 1998

Quantum many-body systems被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、XXXおよびXXZヘイゼンベルグスピン鎖におけるベーテアンザッツが、ベーテ運動量が発散する際のベーテ波動関数係数の特異性により、すべての固有状態を一貫して再現できないことを示している。一部の発散解は真の固有状態に対応するが、多くの解はそうでなく、代数的ベーテアンザッツはこれらのケースにおいて波動関数が消失することを示し、2つのスピン以下でない系では、標準的ベーテアンザッツ手法に根本的な不完全性または不正確性が内在していることが明らかになる。

ABSTRACT

We examine the question of whether Bethe's ansatz reproduces all states in the periodic Heisenberg XXZ and XXX spin chains. As was known to Bethe himself, there are states for which the Bethe momenta $k_n$ diverge: these are in fact the simplest examples of ``string'' solutions. The coefficients of the Bethe wavefunction, too, diverge. When there are only two down spins in the system (the case considered by Bethe), we can renormalize these coefficients to get a sensible (and correct) wavefunction. We show that this is not always possible when there are more than two down spins. The Bethe equations have several such divergent solutions, and some of these correspond to genuine eigenfunctions of the Hamiltonian, but several do not. Nor do they reproduce the correct energy eigenvalues. Moreover, we point out that the algebraic Bethe ansatz, an alternative way to construct the wavefunctions proposed by Faddeev, Takhtajan et al., leads to vanishing wavefunctions for all these solutions. Thus, the Bethe ansatz solution of the Heisenberg model must be regarded as either incomplete, or inaccurate.

研究の動機と目的

• 周期的XXXおよびXXZヘイゼンベルグスピン鎖におけるベーテアンザッツが、すべての固有状態を完全に再現するかどうかを調査すること。
• 2つ以上のダウンスピンを含む系において、ベーテ運動量が発散する際のベーテ波動関数係数の振る舞いを分析すること。
• 特異的または発散的波動関数係数をもたらすベーテ方程式の解の妥当性を評価すること。
• 座標的ベーテアンザッツと代数的ベーテアンザッツの両手法が、これらの特異解をどのように扱うかを比較すること。
• これらの特異解が実際に固有状態に対応するか、正しいエネルギー固有値をもたらすかを特定すること。

提案手法

• 3つ以上のダウンスピンを含む系において、発散するベーテ運動量の極限における座標的ベーテアンザッツ波動関数係数の分析。
• 同じベーテ方程式から波動関数を構成する代数的ベーテアンザッツの使用により、特異解に対して波動関数が消失することを明らかにする。
• パラメータβ → ∞への極限処理を用いて、特異な振幅にもかかわらず物理的内容を保つ波動関数係数の比を有限に抽出する。
• 小さな系（例：6サイト鎖）における明示的かつ正確な対角化により、特異解が実際に固有状態であるかを検証し、エネルギーを計算する。
• 代数的ベーテアンザッツからのλ-変数を用いて、解の振る舞いを分析し、ベーテ方程式における偽の根を特定する。
• アハラノフ＝ボームフラックスの導入により特異解を正則化し、収束性の分析およびN乗根の位相に対応するフラックス値での特異性の再発生を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベーテ方程式のすべての解が、ヘイゼンベルグハミルトニアンの物理的固有状態に対応するか？
• RQ2 2つ以上のダウンスピンを含む系において、発散するベーテ波動関数係数を正規化することで、有効な有限固有状態が得られるか？
• RQ3 方程式を満たしているにもかかわらず、正しいエネルギー固有値を再現できないベーテ方程式の解が存在する理由は何か？
• RQ4 座標的アンザッツが発散的だが物理的とみなせる解として扱うのに対し、代数的アンザッツは同じ特異解に対して波動関数が消失する理由は何か？
• RQ5 アハラノフ＝ボームフラックスで正則化された状態でも、どのような条件下で特異解が再び出現するか？

主な発見

• 2つ以上のダウンスピンを含む系では、発散するベーテ運動量が特異な波動関数係数を引き起こし、それらを一貫して正規化して有効な固有状態にすることはできない。
• 発散する運動量をもつベーテ方程式の解の中には、3つのダウンスピン系（例：N=6）では2つの解しか実際に固有状態に対応しないが、残りのN−2個の解は偽の解である。
• 代数的ベーテアンザッツは、すべての特異解に対して波動関数が消失するため、このような状況ではこの定式化に根本的な崩壊が生じることを示している。
• 波動関数係数の比が有限であっても、一部の特異解は固有状態条件を満たさず、正確なエネルギーが得られない。これは正確な対角化によって検証された。
• アハラノフ＝ボームフラックスを導入することで方程式は正則化されるが、N乗根の位相に対応するフラックス値では特異性が消えないため、これらの点の近傍で数値的不安定性が生じる。
• 6サイト鎖に3つのダウンスピンを含む場合、ベーテ方程式の6つの解のうち、λ=0およびλ=∞に対応する2つの解のみが正しい固有状態をもたらす。残りの4つの解は物理的でなく、誤ったエネルギーを予測する。