[論文レビュー] Singularities of ordinary deformation rings

Andrew Snowden|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、$ \mathbf{Z}_p $ 上の通常の変形環 $ R $ の構造を分析する手法を開発し、Hodge–Tate重みが 0 と 1 である自明な2次元表現の場合に、$ R $ が正規的で、Cohen–Macaulay的であり、Gorenstein的でないことを示している。このアプローチは、モジュライ的方程式と可換代数を組み合わせて、$ R $ の函手的記述を確立し、$ R = \mathbf{T} $ 定理のようなより強いグローバル結果を可能にする。

ABSTRACT

Let R^univ be the universal deformation ring of a residual representation of a local Galois group. Kisin showed that many loci in MaxSpec(R^univ[1/p]) of interest are Zariski closed, and gave a way to study the generic fiber of the corresponding quotient of R^univ. However, his method gives little information about the quotient ring before inverting p. We give a method for studying this quotient in certain cases, and carry it out in the simplest non-trivial case. Precisely, suppose that V_0 is the trivial two dimensional representation and let R be the unique Z_p-flat and reduced quotient of R^univ such that MaxSpec(R[1/p]) consists of ordinary representations with Hodge--Tate weights 0 and 1. We describe the functor of points of (a slightly modified version of) R and show that the irreducile components of Spec(R) are normal, Cohen--Macaulay and not Gorenstein. This has two well-known applications to global deformation rings: first, a global deformation ring employing these local conditions is torsion-free; and second, Kisin's R[1/p]=T[1/p] theorem can be upgraded in this setting to an R=T theorem.

研究の動機と目的

• Kisinの方法が $ p $ を逆数にしない段階で限界に達する場合に、$ \mathbf{Z}_p $ 上の通常の変形環 $ R $ の構造を理解すること。
• 残余表現が自明な場合に、$ R $ の一般化されたファイバー $ R[1/p] $ ではなく、$ R $ 自身を分析するための手法を開発すること。
• 最も単純な非自明な通常の場合において、普遍的 $ \mathcal{O} $-平坦かつ削減可能な商 $ R $ が正規的で、Cohen–Macaulay的であり、Gorenstein的でないことを示すこと。
• これらの局所的結果をグローバルな変形環に応用し、ねじれ自由性を証明し、Kisinの $ R[1/p] = \mathbf{T}[1/p] $ を $ R = \mathbf{T} $ に強化すること。

提案手法

• 自明な表現のすべての変形に有効な明示的方程式を用いて、普遍的変形環 $ R^{\mathrm{univ}} $ の商 $ R^\dagger $ を構成する。
• Kisinの方法を用いて一般化されたファイバーを理解することで、$ R^\dagger[1/p]_{\mathrm{red}} \to R[1/p] $ が同型であることを示す。
• $ k $ 上でのモジュライ的解釈を用いて、特別ファイバー $ R^\dagger \otimes_{\mathcal{O}} k $ が削減可能で、等次元的であり、$ R^\dagger[1/p] $ と同じ数の極小素理想的を持つことを証明する。
• 抽象的可換代数の結果（命題 2.2.1 および 2.3.1）を適用して、$ R^\dagger $ が $ \mathcal{O} $-平坦かつ削減可能であることを導く。
• 結論として、$ R^\dagger \to R $ が同型であることを示し、$ R $ のモジュライ的記述を得る。
• $ R $ の記述を用いて、その既約成分が正規的で、Cohen–Macaulay的であり、Gorenstein的でないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 通常の場合において、普遍的変形環の $ \mathcal{O} $-平坦かつ削減可能な商 $ R $ の点関手を、その一般化されたファイバーを超えて記述できるか？
• RQ2 このような変形環 $ R $ のグローバルな代数的性質（例：正規性、Cohen–Macaulay性、Gorenstein性）は何か？
• RQ3 $ R $ の局所的性質は、特にモジュラリティ上昇定理の文脈において、グローバルな変形環の構造にどのように影響するか？
• RQ4 $ R $ がCohen–Macaulay的かつねじれ自由である場合、Kisinの $ R[1/p] = \mathbf{T}[1/p] $ の結果を $ R = \mathbf{T} $ に強化できるか？

主な発見

• Hodge–Tate重みが 0 と 1 である自明な2次元表現に対する、普遍的 $ \mathcal{O} $-平坦かつ削減可能な商 $ R $ は正規的である。
• $ \operatorname{Spec}(R) $ の既約成分はCohen–Macaulay的であり、これは、これらの局所的条件を用いたグローバルな変形環がねじれ自由であることを示唆する。
• $ R $ はGorenstein的でないため、モジュラリティ定理におけるHecke環 $ \mathbf{T} $ の構造に影響を与える。
• この手法により、明示的方程式を用いた $ R $ の函手的記述が確立され、一般化されたファイバーの考察を超えた構造的解析が可能になる。
• グローバルな設定において、$ R $ が $ \mathcal{O} $ 上有限生成であり、各局所的変形環 $ R_v^\Box $ がCohen–Macaulay的であるとき、グローバルな変形環 $ R $ も $ \mathcal{O} $-平坦かつCohen–Macaulay的である。
• 局所的条件が通常であり、$ p $ 上の点で残余表現が自明である場合、$ R $ が $ \mathcal{O} $-平坦であれば、$ R = \mathbf{T} $ 定理が成り立つ。