[論文レビュー] Singularities of plurisubharmonic functions and positive closed currents

Alexander Rashkovskii|ArXiv.org|Aug 23, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 61被引用数 4

ひとこと要約

本調査は、正則関数の特異点と正の閉カレントの特異点を、Lelong数、一般化Lelong数、Monge-Ampère作用素を用いて包括的に分析するフレームワークを確立する。局所的指標とニュートン多面体を用いて、残渣Monge-Ampère質量の定量的評価を導出し、特に原点における正則写像の重複度がそのニュートン数によって下から有界であることを示し、代数幾何学と複素解析の古典的・最近の結果を回復・統合する。

ABSTRACT

This is a survey of results, both classical and recent, on behaviour of plurisubharmonic functions near their $-\infty$-points, together with the related topics for positive closed currents.

研究の動機と目的

• 正単調函数および正の閉カレントに対するLelong数および一般化Lelong数の理論を体系化すること。
• Siuの分解およびKing-Demaillyの公式を含む、正の閉カレントの構造的公式を確立すること。
• 局所的指標および方向Lelong数を用いて、残渣Monge-Ampère質量を評価すること。
• ニュートン多面体および複素ポテンシャル論的手法を用いて、正則写像の重複度に関する定量的評価を導出すること。
• 複素ポテンシャル論の古典的および最近の結果を、代数幾何学および複素解析への応用と統合すること。

提案手法

• 正単調函数の対数的特異点近傍における漸近的密度としてLelong数を定義すること。
• Monge-Ampère作用素を用いて正単調函数とカレントを関連付け、その残渣質量を研究すること。
• 局所的指標を導入し、Monge-Ampère質量の評価を方向特異点の漸近的解析に還元すること。
• Lelong-Jensen-Demaillyの公式を用いて、可積分性指数および乗数イデアルをLelong数と関連付けること。
• King-Demaillyの公式を用いてカレントを分解し、特異点の伝播を分析すること。
• ニュートン多面体の幾何的積分および凸集合の極端点を用いて、残渣質量の上限を計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lelong数は、正単調函数の局所的特異挙動をどのように特徴付けるか？
• RQ2 一般化Lelong数と正単調函数の可積分性指数との関係は何か？
• RQ3 局所的指標および方向Lelong数を用いて、カレントの残渣Monge-Ampère質量をどのように評価できるか？
• RQ4 ニュートン多面体および複素ポテンシャル論を用いて、正則写像の重複度にどのような評価を得られるか？
• RQ5 方向Lelong数による残渣Monge-Ampère質量の評価において、等号が成立する条件は何か？

主な発見

• 点における多重円形特異点をもつ正単調函数の残渣Monge-Ampère質量は、そのニュートン数に等しく、これは座標軸方向の方向Lelong数の積によって上から有界である。
• 正則写像 $ f $ に対して、原点における重複度 $ m_f $ は $ m_f /geq N_f $ を満たす。ここで $ N_f $ は $ f $ のニュートン数であり、Kouchnirenkoの評価を回復する。
• 重み $ \varphi $ が多重円形特異点をもち、$ -\infty $ の集合が座標軸を避けるとき、不等式 $ \nu(u,\varphi) \geq n! \int_{E^\varphi} \nu(u,0,-t) \, d\gamma^\varphi(t) $ において等号が成立する。
• 集合 $ L^\varphi $ の極端点上の測度 $ \gamma^\varphi $ は、凸集合 $ \Theta_F^\varphi $ の体積によって決定され、幾何学と特異質量評価を結びつける。
• $ u = \log|f| $ のとき、ニュートン多面体 $ B_u $ は $ f $ のニュートン図の凸包に等しく、残渣質量 $ \mathcal{R}_u $ はニュートン数 $ \tau_u $ に等しい。
• 重み付き同次成分に対して、不等式 $ m_f \geq \frac{m_{f_1,a} \cdots m_{f_n,a}}{a_1 \cdots a_n} $ が成り立ち、Bezout型不等式を一般化する。