[論文レビュー] Singularities with respect to Mather-Jacobian discrepancies

Lawrence Ein, Shihoko Ishii|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、非正規で非${\mathbb{Q}}$-Gorensteinな多様体に対し、Mather-Jacobian不恰好を導入して、正規でない、${\mathbb{Q}}$-Gorensteinでない多様体のための標準的・対数標準的特異点を定義する。古典的特異点論の一般化であり、基礎的性質を確立し、付随する反転の法則を証明し、次元2以下のすべてのMJ-対数標準的およびMJ-標準的特異点を分類し、これらの特異点が変形に対して良好に振る舞い、セグレ埋め込みの錐のような非正規例を含むことを示している。

ABSTRACT

As is well known, the "usual discrepancy" is defined for a normal Q-Gorenstein variety. By using this discrepancy we can define a canonical singularity and a log canonical singularity. In the same way, by using a new notion, Mather-Jacobian discrepancy introduced in recent papers we can define a "canonical singularity" and a "log canonical singularity" for not necessarily normal or Q-Gorenstein varieties. In this paper, we show basic properties of these singularities, behavior of these singularities under deformations and determine all these singularities of dimension up to 2.

研究の動機と目的

• 正規でない${\mathbb{Q}}$-Gorenstein多様体を超えて、古典的標準的および対数標準的特異点論を拡張すること。
• 任意の被覆的等次元スキームに対して、Mather-Jacobian不恰好を用いてMJ-標準的およびMJ-対数標準的特異点を定義すること。
• これらの特異点の基礎的性質、特に変形における挙動を確立すること。
• 次元2以下のすべてのMJ-標準的およびMJ-対数標準的特異点を分類すること。
• 新しい枠組みが、セグレ埋め込みの錐のような重要な非正規特異点を捉えられることを示すこと。

提案手法

• Mather不恰好$ \widehat{K}_{Y/X} $とヤコビ不恰好$ J_{Y/X} $を用いて、Mather-Jacobian不恰好除数を$ \widehat{K}_{Y/X} - J_{Y/X} $として定義する。
• Mather-Jacobian対数不恰好を$ a_{\operatorname{MJ}}(E;X,\mathfrak{a}^t) = \operatorname{ord}_E(\widehat{K}_{Y/X} - J_{Y/X}) - t\operatorname{val}_E(\mathfrak{a}) + 1 $として定義する。
• すべての例外的除算子$ E $に対して$ a_{\operatorname{MJ}}(E;X,\mathfrak{a}^t) $の不等式を用いて、MJ-標準的、MJ-対数標準的、MJ-端的、MJ-klt特異点を定義する。
• MJ-不恰好に対する反転の法則を証明する：$ \operatorname{mld}_{\operatorname{MJ}}(W;X,\mathfrak{a}^t) = \operatorname{mld}_{\operatorname{MJ}}(W;A,\widetilde{\mathfrak{a}}^t I_X^c) = \operatorname{mld}(W;A,\widetilde{\mathfrak{a}}^t I_X^c) $。
• ナッシュのブ lows に因数分解する対数解体を用いて、Mather-Jacobian不恰好を被覆不変の方法で定義する。
• 次元≤2におけるすべてのMJ-対数標準的およびMJ-標準的特異点を、その退化極限と完全交差モデルの分析により分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的および対数標準的特異点は、非正規で非${\mathbb{Q}}$-Gorenstein多様体にどのように一般化できるか？
• RQ2 MJ-標準的およびMJ-対数標準的特異点の基本的性質、特に変形における挙動は何か？
• RQ3 次元≤2の特異点でMJ-対数標準的またはMJ-標準的であるものはどれか？また、古典的特異点とどのように関係するか？
• RQ4 Mather-Jacobian不恰好は反転の法則を満たすか？その結果は何か？
• RQ5 セグレ埋め込みの錐のような非正規特異点は、MJ理論によって捉えられるか？

主な発見

• Mather-Jacobian不恰好は古典的不恰好を一般化し、非正規で非${\mathbb{Q}}$-Gorenstein多様体に対するMJ-標準的およびMJ-対数標準的特異点の定義を可能にする。
• 多様体が正規かつ${\mathbb{Q}}$-Gorensteinである場合、MJ-標準的（resp. MJ-対数標準的）特異点は、古典的意味での標準的（resp. 對数標準的）特異点を意味する。
• MJ-不恰好に対する反転の法則が成り立ち、MJ-最小対数不恰好が、環境空間における古典的mldにリンクする。
• 次元≤2におけるすべてのMJ-対数標準的およびMJ-標準的特異点が分類され、セグレ埋め込みの錐や、通常のノードを持つ有理曲線の和のような例が含まれる。
• MJ-対数標準的特異点で$ S_2 $でないもの、例えば一点で交わる2つの曲面の和が存在し、この枠組みが非コhen-Macaulay特異点を捉えられることを示す。
• 4つの${\mathbb{P}}^1$が通常の二重点を持つサイクルをなす錐の例は、MJ-対数標準的だが、半対数標準的ではない。これにより、MJ理論と他の特異点クラスとの違いが明確になる。