[論文レビュー] Singularity analysis of a new discrete nonlinear Schrodinger equation

Sergei Sakovich|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2001

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、LeonとMannaによって導入された新しい離散非線形シュレーディンガー方程式に対して、可積分性のためのPainlevéテストを適用している。解析により、特異展開における非優位な対数項が明らかになり、非可積分性が示された。副次的に、Weissの予想に従い、可積分性が予測される新しい離散方程式（11）が導出された。

ABSTRACT

We apply the Painleve test for integrability to a new discrete (differential-difference) nonlinear Schrodinger equation introduced by Leon and Manna. Since the singular expansions of solutions of this equation turn out to contain nondominant logarithmic terms, we conclude that the studied equation is nonintegrable. This result supports the observation of Levi and Yamilov that the Leon-Manna equation does not admit high-order generalized symmetries. As a byproduct of the singularity analysis carried out, we obtain a new discrete equation which should be integrable according to a conjecture of Weiss.

研究の動機と目的

• Leon–Mannaの離散非線形シュレーディンガー方程式の可積分性をPainlevéテストを用いて評価すること。
• 先行する対称性解析が示唆するように、高次の一般化された対称性をもつかどうかを調査すること。
• 特異展開における対数項の意味が可積分性基準に与える影響を検討すること。
• 特異性解析から得られる適合条件をもとに、新しい離散方程式を導出すること。
• 非可積分系における適合条件が可積分制約を生じるというWeissの予想の妥当性を検証すること。

提案手法

• 元の複素離散NLS方程式を、$ u_m $ と $ v_m $ を用いて $ \text{Re}(\bar{\rho}_m) $ と $ \text{Im}(\bar{\rho}_m) $ として表す実数の2階常微分方程式系に変換した。
• 形式的パラメータ $ \rho $ を用いたローレン卜型展開を仮定し、$ \rho_t = 1 $ としてAblowitz–Ramani–Segurの特異性解析アルゴリズムを適用した。
• 特定の支配的挙動の分岐を特定し、$ \rho $ のべきが $ \rho^{-1} $ であることを特定し、共鳴位置を $ r_m = -1, 0, 3, 4 $ として計算した。
• ローレン卜展開を用いて係数 $ u_{m,n} $ と $ v_{m,n} $ の再帰関係を導出し、それを系方程式に代入した。
• 各共鳴における再帰関係の整合性を確認した。特に $ n=4 $ において、非自明な適合条件が生じた。
• 整合性を回復させるために $ \rho^3 \text{log} \rho $ 項を導入したが、これは標準的基準に従い非可積分性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Leon–Mannaの離散非線形シュレーディンガー方程式は、可積分性のためのPainlevéテストに合格するか？
• RQ2 最高の共鳴 $ n=4 $ における適合条件は、対数補正なしに整合的か？
• RQ3 特異性解析中に得られた適合条件を用いて、新しい可積分離散方程式を構成できるか？
• RQ4 特異展開における非優位な対数項の存在は、系の非可積分性を示唆するか？
• RQ5 適合条件から導出された新しい離散方程式（11）は、Weissの予想に従い、可積分であると予測されるか？

主な発見

• Leon–Mannaの離散非線形シュレーディンガー方程式は、特異展開に非優位な対数項が現れるため、Painlevéテストに失敗する。
• $ n=4 $ の共鳴における非自明な適合条件が生じ、特に方程式（10）が対数項の導入なしには満たせない。
• $ n=4 $ における再帰関係は整合性がなく、$ \rho^3 \text{log} \rho $ 項の導入が要求され、これは非可積分性の既知の指標である。
• 適合条件から新しい離散方程式（11）が導出され、$ z_m = v_{m,0} $ を用いて表現された。この方程式はWeissの予想に従い可積分であると予測される。
• この結果は、LeviとYamilovによる先行研究の結論（高次の一般化された対称性を有さないため非可積分）を裏付けた。
• 導出された方程式（11）は、離散系におけるさらなる可積分性研究の候補となる、新規の差分方程式である。