[論文レビュー] Singularity formation and regularization at multiple times in the viscous Hamilton-Jacobi equation

Noriko Mizoguchi, Philippe Souplet|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般次元における拡散ハミルトニアン・ジャコビ方程式のグローバルな粘性解を構成し、勾配爆発（GBU）と境界条件の喪失（LBC）が、任意に順序付けられた複数の時刻で発生することを示す。臨界パラメータと連続性の議論に基づく新規な手法を用いて、m ≥ 1 個の異なる時刻でGBUとLBCの任意の組み合わせ（あり／なしを含む）を示す解の存在を証明し、新たな「バウンシング」挙動を特定。1次元では完全な分類を提示し、高次元における回転対称解へと拡張する。

ABSTRACT

The Cauchy-Dirichlet pbm for the superquadratic viscous Hamilton-Jacobi eqn (VHJ), which has important applications in stochastic control theory, admits a unique, global viscosity solution. Sol. thus exist in the weak sense after appearance of singularity in finite time, which occurs through gradient blow-up (GBU) on the boundary. Whereas theory of visc. sol. has been extensively studied and applied to many PDEs, there are less results on refined behavior of sol. In particular, detailed behavior of visc. sol. of VHJ after GBU has remained mostly open. Here, in general dim., for each $m\ge 1$ we construct sol. which undergo GBU and LBC at least at $m$ times and then recover regularity, as well as sol. that exhibit GBU without LBC at 1st blowup time. In 1d, we obtain the complete classification of visc. sol. at each time, which extends to radial cases in higher d. Furthermore for each $m\ge 2$ and arbitrarily given combination of GBU types with/without LBC at $m$ times in arbitrarily given order, we show exist. of a sol. with this exact combination of GBU. Some sol. display a new type of behavior called "bouncing". Global weak sol. of VHJ with multiple time singularity turn out to display larger variety of behaviors than for the Fujita eqn. We introduce a method based on an arbitrary number of critical parameters, whose continuity requires a delicate argument. Since we do not rely on any known special sol. unlike in Fujita eqn, our method is expected to apply to other eqns. Singular behaviors at multiple times are completely new in the context of VHJ but also of stochastic control theory. In this framework our results imply that for certain spatial distributions of rewards, if a controled Brownian particle starts near the boundary, then the net gain attains profitable values on different time horizons but not on some intermediate times.

研究の動機と目的

• 拡散ハミルトニアン・ジャコビ方程式における勾配爆発（GBU）後の解の精密な長期的挙動を調査すること。
• 単一イベントにとどまらず、複数の異なる時刻でGBUと境界条件の喪失（LBC）を経験できるかどうかを特定すること。
• 1次元におけるすべての粘性解の挙動を完全に分類し、高次元における回転対称解へと拡張すること。
• m ≥ 1 個の指定された時刻で、GBUとLBCの任意の順序の組み合わせ（あり／なしを含む）を示す解を構成すること、特に新規な「バウンシング」ダイナミクスを含むこと。
• 特殊解や既知の正確解に依存しない、非線形PDEにおける特異挙動を分析可能な一般化可能な手法を構築すること。

提案手法

• 特異性の形成と回復を制御するため、任意の数の臨界パラメータに基づく手法を導入する。
• これらのパラメータにわたる連続性の議論を用いて、指定された時刻で望ましいGBUおよびLBCパターンを示す解の存在を保証する。
• カットオフ関数と凸拡張を用いた摂動技法を用い、初期データを変更し、望ましい正則性および境界挙動を有する解を構築する。
• ゼロ数の性質と単調性解析を用いて、ノード集合の進化を追跡し、微分の符号変化の数を制御する。
• 比較原理と近似スキームを用いて、爆発後の粘性解の性質と正則性を確立する。
• 対称性とスケーリングの議論を用いて、1次元から高次元における回転対称解への結果の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般次元において、拡散ハミルトニアン・ジャコビ方程式の粘性解が、複数の異なる時刻で勾配爆発（GBU）と境界条件の喪失（LBC）を経験できるか。
• RQ2 m ≥ 1 個の指定された時刻で、GBUとLBCの任意の順序の組み合わせ（あり／なしを含む）を示す解を構成可能か。
• RQ3 1次元における粘性解のすべての可能な挙動を、GBUおよびLBC挙動の観点から完全に分類できるか。高次元における回転対称解も含む。
• RQ4 GBUとLBC後に正則性が回復され、再び失われるという、新たな挙動（例：「バウンシング」）を示す解が存在するか。
• RQ5 本手法は、特殊解や正確解に依存しない形で、他の方程式へ一般化可能か。

主な発見

• 各 m ≥ 1 に対して、少なくとも m 回のGBUおよびLBCを経験するグローバルな粘性解を構成した。各イベントの間で正則性が回復される。
• 各 m ≥ 2 および任意のGBUタイプ（LBCあり／なし）の指定された順序に対して、m 個の異なる時刻で正確にその順序の挙動を示す解の存在を証明した。
• 1次元では、各時刻におけるすべての粘性解の完全な分類を提示した。高次元における回転対称解も含む。
• GBUおよびLBC後に正則性が回復され、再び同じプロセスを繰り返すという、新たな「バウンシング」挙動を示す解を構築した。
• 本手法は一般化可能であり、既知の特殊解に依存しないため、拡散ハミルトニアン・ジャコビ方程式を超える他の非線形PDEに対しても応用可能である可能性を有する。
• 結果として、特に確率的制御理論の文脈において、フジタ方程式で観察されたものよりも多様な特異挙動の種類が明らかになった。