[論文レビュー] Sinusoidally coupled phase oscillators evolve by Mobius group action

Seth A. Marvel, Renato Mirollo+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2009

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、N 個の同一な位相発振子からなる系で、全結合の正弦波的結合を有する場合、その力学的挙動がユニット円板を保つ分数線形変換の3パラメータ部分群であるモビウス群によって支配されることを明らかにする。このため、N 次元状態空間は3次元の不変多様体にファイブレーションされ、発振子位相の交比によって与えられる N−3 個の独立した保存量が存在し、観察された次元削減を説明するとともに、中立的に安定したカオスが存在する領域を示唆している。

ABSTRACT

Systems of N identical phase oscillators with global sinusoidal coupling are known to display low-dimensional dynamics. Although this phenomenon was first observed about 20 years ago, its underlying cause has remained a puzzle. Here we expose the structure working behind the scenes of these systems, by proving that the governing equations are generated by the action of the Mobius group, a three-parameter subgroup of fractional linear transformations that map the unit disc to itself. When there are no auxiliary state variables, the group action partitions the N-dimensional state space into three-dimensional invariant manifolds (the group orbits). The N-3 constants of motion associated with this foliation are the N-3 functionally independent cross ratios of the oscillator phases. No further reduction is possible, in general; numerical experiments on models of Josephson junction arrays suggest that the invariant manifolds often contain three-dimensional regions of neutrally stable chaos.

研究の動機と目的

• 全結合の正弦波的結合を有する位相発振子系において長年にわたり観察されてきたが、未だ説明のつかなかった低次元的力学を説明すること。
• これらの系における次元削減を引き起こす幾何的構造を特定すること。
• 系の力学がユニット円板上でのモビウス群の作用によって生成されることを示すこと。
• 発振子位相の交比に基づいて、不変多様体とそれに関連する保存量を特徴づけること。
• これらの不変多様体の安定性と構造を調査し、特に中立的に安定したカオスの存在を明らかにすること。

提案手法

• 著者たちは、全結合の正弦波的結合を有するN 個の同一な位相発振子の支配方程式を分析する。
• 系の対称性群が、ユニット円板を自分自身に写す分数線形変換の3パラメータ部分群たるモビウス群であることを特定する。
• 群作用理論を用いて、N 次元状態空間が3次元の不変多様体（群の軌道）にファイブレーションされることを示す。
• 発振子位相の交比として表される、N−3 個の関数的に独立した保存量が導出される。
• 群作用の構造に基づいて、一般にはさらなる次元削減が不可能であることを証明する。
• ジョセフソン接合アレイモデルにおける数値シミュレーションを用いて、不変多様体内に3次元の領域として中立的に安定したカオスが存在することを支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全結合の正弦波的結合を有する位相発振子系における低次元的力学の背後にある幾何的構造は何か？
• RQ2 モビウス群の作用は、N 次元状態空間における不変多様体をどのように生成するか？
• RQ3 群の軌道による状態空間のファイブレーションに関連する保存量は何か？
• RQ4 不変多様体内に中立的に安定したカオスの領域は存在するか？ そしてそれらはどのように生じるか？
• RQ5 なぜ次元削減が3次元に限定され、一般にはさらなる削減が不可能なのか？

主な発見

• 全結合の正弦波的結合を有する位相発振子系の力学は、ユニット円板上でのモビウス群の作用によって生成される。
• N 次元状態空間は、それぞれが群の軌道に一致する3次元の不変多様体にファイブレーションされる。
• 正確に N−3 個の関数的に独立した保存量が存在し、それらは発振子位相の交比である。
• これらの交比が唯一の保存量であるため、一般にはさらなる次元削減は不可能であることを示唆する。
• ジョセフソン接合アレイモデルからの数値的証拠は、不変多様体がしばしば3次元の領域として中立的に安定したカオスを含むことを示している。
• モビウス群の作用の構造は、これらの系で観察された低次元的挙動を完全かつ内因的に説明する。