[論文レビュー] SIR epidemics on evolving graphs

Yufeng Jiang, Remy Kassem+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2019

Complex Network Analysis Techniques参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、感受性個体が感染個体から距離をとる割合ρで再接続するエボリューシブSIR（evoSIR）モデルを、Erdős-Rényiランダムグラフ上で研究している。理論的に、evoSIRと、エッジを削除するdelSIRモデルの間で、感染の臨界率λcと大規模な流行が発生する確率が同一であることを証明しており、delSIRモデルでは最終的感染率が臨界点λcで連続的転移を示すが、シミュレーションではevoSIRがλcで不連続的転移を示すことが示唆されている。

ABSTRACT

We consider evoSIR, a variant of the SIR model, on Erd\H os-Renyi random graphs in which susceptibles with an infected neighbor break that connection at rate $ρ$ and rewire to a randomly chosen individual. We compute the critical infection rate $λ_c$ and the probability of a large epidemic by showing that they are the same for the delSIR model in which $S-I$ connections are deleted instead of rewired. The final size of a large delSIR epidemic has a continuous transition. Simulations suggest that the final size of a large evoSIR epidemic is discontinuous at $λ_c$.

研究の動機と目的

• 感受性個体が感染個体から距離をとる進化するランダムグラフ上のSIR流行プロセスの変種であるevoSIRモデルを分析すること。
• evoSIRにおける大規模流行の発生の臨界感染率λcを特定すること。
• evoSIRの最終的感染率の挙動を、エッジが再接続される代わりに削除されるdelSIRモデルと比較すること。
• evoSIRにおける大規模流行の最終的感染率が、λcで連続的か不連続的かの相転移を示すかを調査すること。

提案手法

• 平均次数μのErdős-RényiランダムグラフG(n, μ/n)上で流行プロセスをモデル化する。
• 2つの変種を導入する：evoSIRではS-Iエッジが割合ρでランダムな個体に再接続され、delSIRではS-Iエッジが割合ρで削除される。
• マルティンゲール技法と分岐過程近似を用いて臨界閾値λcを導出する。
• 無限小の平均と分散の計算を伴う連続時間マルコフ連鎖アプローチを適用し、決定的極限への収束を示す。
• 固定時間での再接続を仮定したもとで、未探索の頂点における感受性個体と平均次数の時間発展を記述する微分方程式系を導出する。
• 母関数と大数の法則を用いて、感染個体の正規化された数が決定的関数にほとんど確実に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Erdős-Rényiランダムグラフ上でのevoSIRモデルにおける臨界感染率λcは何か？
• RQ2 evoSIRとdelSIRモデルの間で、臨界閾値および大規模流行の確率は同一か？
• RQ3 evoSIRにおける大規模流行の最終的感染率は、λcで連続的か不連続的かの相転移を示すか？
• RQ4 再接続行動は、標準的なSIRモデルと比較して最終的流行規模にどのように影響を与えるか？
• RQ5 グラフサイズn → ∞の極限において、流行プロセスの挙動はいかなるものか？

主な発見

• evoSIRの臨界感染率λcはdelSIRモデルと同一であり、大規模流行の発生閾値が同一であることを示唆している。
• 大規模なdelSIR流行の最終的感染率は、λcで連続的相転移を示す。
• シミュレーションの結果、大規模なevoSIR流行の最終的感染率はλcで不連続的相転移を示すことが示唆されている。
• n → ∞のとき、感染個体の正規化された数U[ns]/nはほとんど確実にe^{-sμEτ}に収束し、決定的極限が確立される。
• 固定時間での再接続を仮定したもとで、u_sとv_sの微分方程式系の解はu = A / (B + (A - B)e^{At})の形を取り、感受性個体の割合の時間的ダイナミクスを示す。
• αu_s + (1−α)v_sは時間とともに保存され、α（再接続確率）を用いてv_sをu_sの関数として閉形式で表現できる。