[論文レビュー] Sistemas de Lie y sus aplicaciones en física y teoría de control

Arturo Ramos Gutiérrez|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2002

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 251被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、リー群構造を備える非線形力学系（Lieシステム）の幾何学的理論を構築し、物理学および制御工学に応用する。Wei-Norman法を一般化し、主バンドル上の接続との関係を確立し、量子力学、リッカティ方程式、制御系への応用を示す。リッカティ方程式におけるアフィン作用と、新しい還元技術を用いる。

ABSTRACT

Se estudia la estructura geometrica de los llamados sistemas de Lie y algunas aplicaciones de tal estudio en fisica y teoria de control, Resumimos las principales contribuciones originales de la Tesis. En el capitulo 1 se presenta el Teorema de Lie que caracteriza tales sistemas y se encuentra una accion afin del grupo de curvas en SL(2,R) sobre el conjunto de ecuaciones de Riccati. En el capitulo 2 se formula la teoria geometrica de los sistemas de Lie en grupos de Lie y espacios homogeneos. Se generalia la accion afin anterior al caso de un sistema de Lie arbitrario. Se generaliza el metodo de Wei-Norman y se desarrolla una tecnica de reduccion de sistemas de Lie. Se establece la relacion de los sistemas de Lie con conexiones en fibrados principales y asociados. En el capitulo 3 se ilustra la aplicacion de la teoria a diferentes sistemas de Lie de interes. En el capitulo 4 se aplica la teroria a problemas de mecanica cuantica unidimensional, en concreto a los problemas de operadores entrelazados, transformaciones de Darbouz y mecanica cuantica supersimetrica, asi como a los problemas llamados invariantes de forma. En el capitulo 5 se usa la accion afin sobre el conjunto de ecuaciones de Riccati para explicar el algoritmo de diferencias finitas y el problema de los Hamiltonianos entrelazados. Se generalizan las transformaciones de Darboux de ecuaciones diferenciales de segundo orden. En el capitulo 6 se aplica la teoria a sistemas Hamiltonianos clasicos y cuanticos que ademas pueden considerarse como sistemas de Lie. Finalmente, en el capitulo 7 se muestran aplicaciones en la teoria geometrica de control. Se establecen nuevas relaciones entre sistemas de control, identificando sistemas en base a su estructura algebraica, y por medio de la mencionada tecnica de reduccion. Se emplea sistematicamente el metodo generalizado de Wei-Norman en tales sistemas.

研究の動機と目的

• リー群と同調空間を用いたLieシステムの幾何学的枠組みの構築。
• Lieシステムを解くためのWei-Norman法の一般化と還元技術の導入。
• Lieシステムと主バンドルおよび関連バンドル上の接続との関係の確立。
• 超対称量子力学および形状不変ポテンシャルを含む量子力学的系への理論の応用。
• 古典的および量子ハミルトニアン系、幾何学的制御理論における理論の応用。

提案手法

• 幾何的構造を用いて、リー群および同調空間上のLieシステムを定式化する。
• SL(2,R)内の曲線群によるリッカティ方程式へのアフィン作用を導入し、一般に任意のLieシステムへ拡張する。
• 構造定数と時系列指数関数を用いて、Lieシステムを解くためのWei-Norman法の拡張。
• 代数的構造と対称性に基づく、Lieシステムの簡略化のための還元技術の導出。
• 曲率と平行移動を介して、Lieシステムと主バンドル上の接続との対応関係の確立。
• 制御系に一般化されたWei-Norman法を体系的に応用し、代数的構造によって系を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何学的および代数的構造を用いて、Lieシステムを体系的に特徴づけ、還元することは可能か？
• RQ2 リッカティ方程式へのアフィン作用が、さまざまな微分方程式および数値解法を統一する役割を果たすか？
• RQ3 主バンドル上の接続は、Lieシステムの力学にどのように関係するか？
• RQ4 一般化されたWei-Norman法は、形状不変ポテンシャルを有する量子力学的系にどのように応用可能か？
• RQ5 幾何学的制御理論は、その背後にあるリー代数的構造による制御系の分類によって、どのように豊かになるか？

主な発見

• 本稿は、リー群および同調空間上のLieシステムの一般的幾何学的枠組みを確立し、さまざまな力学系を統一する。
• SL(2,R)内の曲線群によるリッカティ方程式へのアフィン作用が、任意のLieシステムへ一般化され、新たな解法技術の実現を可能にする。
• 一般化されたWei-Norman法が拡張され、特に量子力学的文脈においてLieシステムを解く応用がなされた。
• 代数的および幾何的対称性に基づく、Lieシステムのための新しい還元技術が開発された。
• 理論により、Lieシステムと主バンドル上の接続との関係が確立され、その力学のより深い幾何的根拠が明らかになった。
• 幾何学的制御理論への応用により、代数的構造によって制御系を特定し、一般化されたWei-Norman法を用いて体系的な分類と解法が可能になった。