[論文レビュー] Six ways to quantize (2+1)-dimensional gravity

Steven Carlip|ArXiv.org|May 24, 1993

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、トーラス上の(2+1)次元重力に対して、縮小位相空間ADM、チャーン・サイモンズ／接続、共変正準、ループ表現、ホーキング＝デーヴィット方程式、格子手法の6つの異なる量子化手法を体系的に比較している。2+1次元ではすべての手法が適用可能であるが、それらは不等価な量子理論をもたらし、量子重力の量子化スキームにおける根本的な概念的差異を明らかにするとともに、高次元量子重力における基礎的問題に新たな知見をもたらす。

ABSTRACT

We do not yet know how to quantize gravity in 3+1 dimensions, but in lower dimensions we face the opposite problem: many of the approaches originally developed for (3+1)-dimensional gravity can be successfully implemented in 2+1 dimensions, but the resulting quantum theories are not all equivalent. In this talk, I discuss six such approaches --- reduced phase space ADM quantization, the Chern-Simons/connection representation, covariant canonical quantization, the loop representation, the Wheeler-DeWitt equation, and lattice methods --- for the simple case of a spacetime whose spatial topology is that of a torus. A comparison of the resulting quantum theories can provide some useful insights into the conceptual issues that underlie quantum gravity in any number of dimensions. (Talk given at the Fifth Canadian Conference on General Relativity and Relativistic Astrophysics, Waterloo, Ontario, May 1993)

研究の動機と目的

• 2+1次元重力における複数の量子化アプローチの妥当性と結果を調査すること。これは3+1次元よりも単純な設定である。
• 既存の量子化手法を低次元重力モデルに適用した際の概念的・技術的差異を特定し、対比すること。
• 異なる手法間で得られる結果の不等価性を、量子重力の量子化における基礎的課題を解明するためのプローブとして用いること。
• 明確に定義された空間時空トポロジー（トーラス）における各手法の長所と短所を浮き彫りにする比較フレームワークを提供すること。

提案手法

• トーラス的空間トポロジーを有する(2+1)次元重力に縮小位相空間ADM量子化を適用し、理論を有限次元系に還元する。
• チャーン・サイモンズ形式を用いて(2+1)重力を記述し、接続変数を用いて位相的ゲージ理論に写像する。
• 共変正準量子化を用いて、縮小位相空間上のシンプレクティック構造とポアソン括弧に基づく量子理論を構築する。
• 正準理論にループ表現を適用し、ホロノミーとループ変数を用いて非摂動的量子状態空間を定義する。
• 正準的アプローチにおける波動関数の制約としてのホーキング＝デーヴィット方程式を導出し、解析する。
• 格子手法を用いて時空を離散化し、非摂動的量子化を実行する。有限グリッド上での理論の取り扱いを対象とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ADM、チャーン・サイモンズ、ループ、ホーキング＝デーヴィット方程式、共変正準、格子手法といった異なる量子化手法は、(2+1)次元重力においてどのようにして異なる量子理論を生じさせるか？
• RQ2 トーラス的空間トポロジーを持つ時空に適用した際、これらのアプローチ間に存在する概念的・技術的差異は何か？
• RQ3 これらすべての手法が2+1次元で有効であるにもかかわらず、なぜ不等価な量子理論をもたらすのか。これは一般の量子重力の量子化にどのような含意を持つのか？
• RQ4 量子化手法の選択が、ヒルベルト空間の構造と物理的状態条件にどのように影響を与えるか？
• RQ5 低次元モデルにおける手法間の結果の不等価性から、量子重力の基礎的問題についてどのような知見が得られるか？

主な発見

• 6つの量子化手法は、すべて(2+1)次元重力において数学的に整合的であるにもかかわらず、不等価な量子理論を生じる。
• チャーン・サイモンズ形式は、トーラスのモジュラー群と直接関係する有限次元ヒルベルト空間を持つ位相的量子場理論を導く。
• ループ表現と縮小位相空間ADM量子化は、正準変数の選択の違いを反映して、異なるヒルベルト空間構造をもたらす。
• ホーキング＝デーヴィット方程式のアプローチは、因子順序の選択とゲージ固定に依存する関数微分方程式の解を生じる。
• 格子手法は、連続極限を慎重に分析することで既知の結果を回復できる離散的量子理論を生成する。
• 比較から、2+1次元でも量子化が一意でないことが明らかとなり、低次元でも量子重力理論の定義における曖昧性が浮き彫りになる。