[論文レビュー] Sixteen New Linear Codes With Plotkin Sum

Fernando Hernando, Diego Ruano|ArXiv.org|Apr 22, 2008

Coding theory and cryptography参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Plotkin和構成法（u|u+v）を用いて、有限体 F₃ および F₄ 上の16個の新しい線形符号を提示する。この構成法は、2つの既知の符号を組み合わせることで、最小距離が向上した、もしくは明示的に構成されたより長い符号を生成する。F₄ 上の3つの符号は、従来の最小距離の下界を上回り、残りの13個の符号は、これまで存在が境界によってのみ示唆されていたものについて、初めて明示的な構成を与える。

ABSTRACT

Sixteen new linear codes are presented: three of them improve the lower bounds on the minimum distance for a linear code and the rest are an explicit construction of unknown codes attaining the lower bounds on the minimum distance. They are constructed using the Plotkin sum of two linear codes, also called $(u|u+v)$ construction. The computations have been achieved using an exhaustiv search.

研究の動機と目的

• Plotキン和法を用いて、最小距離の下界を向上させたり、明示的に実現されたものとしての新しい線形符号を構成すること。
• Plotkin和構成法が、線形符号における最小距離の下界を改善するための有効な手法のままであることを示すこと。
• 従来は境界によってのみ存在が示唆されていたが、理論的下界を満たす符号について、明示的な構成を提供すること。
• データベース[3]に掲載された符号の多くが、Plotkin和構成法を用いることで生成可能であり、しばしば元の構成法よりも単純に得られることを示すこと。
• 今後の符号構成を促進するため、既知の符号をより長い長さに拡張し、より優れた距離特性を得るためにPlotkin和法の使用を提言すること。

提案手法

• Plotkin和構成法を用いた：C = {(u, u+v) | u ∈ C₁, v ∈ C₂}、ここでC₁およびC₂はF_q上、長さnの線形符号である。
• パラメータの公式を適用：得られる符号は[2n, k₁+k₂, min{2d₁, d₂}]のパラメータを持つ。
• F₄の場合、長さn ≤ 121の範囲で、既知の符号データベース[3]を全検索し、偶数長の符号に焦点を当てた。
• Plotkin和の最小距離を、[3]における長さ2nの既知の下界と比較し、改善が得られたか、または明示的構成が可能かどうかを特定した。
• Magmaというコンピュータ代数システムを用いて、特定の符号（短縮操作を含む）の構成を実装・検証した。
• Plotkin和の有効性を評価するため、[3]に掲載された符号のうち、この手法でいかに再構成できるかを比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Plotkin和構成法は、まだ知られていた最小距離の下界を改善する新しい線形符号を生成し続けられるか？
• RQ2 Plotkin和は、存在が境界によってのみ示唆されていた符号について、明示的な構成を可能にするか？
• RQ3 データベース[3]に掲載された符号のうち、何割がPlotkin和によって生成可能であり、元の構成法よりも単純か？
• RQ4 Plotkin和構成法は、短い既知の符号から、より長い長さで最小距離が向上した符号を体系的に生成する方法を提供するか？
• RQ5 現代の符号構成および下界改善の文脈において、Plotkin和の実用的影響は何か？

主な発見

• F₄上での3つの新しい[126,95,12]および[128,97,12]符号は、最小距離の下界を11から12に向上させた。
• 短縮操作により得られた[127,96,≥12]符号は、最小距離の下界を11から12に向上させた。
• F₃上での3つの新しい[124,78,16]および[126,79,16]符号は、既知の最小距離下界を満たす符号について、初めて明示的な構成を与えた。
• F₄上での10個の新しい[104,63,16]、[106,65,16]、[108,67,16]、[122,91,12]、[124,93,12]、および[125,94,≥12]符号は、従来は境界によってのみ存在が示唆されていた符号について、明示的な構成を提供した。
• Plotkin和構成法により、F₂上では16,512個中2,676個（16.2％）、F₃上では14,762個中1,681個（11.38％）の偶数長符号が再構成可能であり、広範な適用可能性が示された。
• いくつかの符号について、Plotkin和は、複数回の短縮・除去・パリティ検査を伴う元の方法よりも単純な構成経路を提供した。