[論文レビュー] Sixteen space-filling curves and traversals for d-dimensional cubes and simplices

HJ Herman Haverkort|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、d次元の立方体および単体における16種の空間満たし走査を統一的な表記体系で提示し、既知の曲線を一般化するとともに、新たな曲線を導入する。この枠組みにより、再帰的分割、回転、反転、再順序付けを用いて、不連続および連続走査を正確に再帰的に構築可能であり、座標から走査順序への変換およびその逆変換を求めるためのアルゴリズムが提供されている。

ABSTRACT

This article describes sixteen different ways to traverse d-dimensional space recursively in a way that is well-defined for any number of dimensions. Each of these traversals has distinct properties that may be beneficial for certain applications. Some of the traversals are novel, some have been known in principle but had not been described adequately for any number of dimensions, some of the traversals have been known. This article is the first to present them all in a consistent notation system. Furthermore, with this article, tools are provided to enumerate points in a regular grid in the order in which they are visited by each traversal. In particular, we cover: five discontinuous traversals based on subdividing cubes into 2^d subcubes: Z-traversal (Morton indexing), U-traversal, Gray-code traversal, Double-Gray-code traversal, and Inside-out traversal; two discontinuous traversals based on subdividing simplices into 2^d subsimplices: the Hill-Z traversal and the Maehara-reflected traversal; five continuous traversals based on subdividing cubes into 2^d subcubes: the Base-camp Hilbert curve, the Harmonious Hilbert curve, the Alfa Hilbert curve, the Beta Hilbert curve, and the Butz-Hilbert curve; four continuous traversals based on subdividing cubes into 3^d subcubes: the Peano curve, the Coil curve, the Half-coil curve, and the Meurthe curve. All of these traversals are self-similar in the sense that the traversal in each of the subcubes or subsimplices of a cube or simplex, on any level of recursive subdivision, can be obtained by scaling, translating, rotating, reflecting and/or reversing the traversal of the complete unit cube or simplex.

研究の動機と目的

• 任意の次元における空間満たし走査を記述する一貫性があり拡張可能な表記体系を提供すること。これにより、先行研究における不整合性および曖昧さを解消する。
• ヒルベルト曲線、ペアノ曲線、Z順序曲線などの既知の空間満たし曲線を、正確な幾何変換を用いて高次元に体系的に一般化すること。
• 従来不十分に定義されてきたか、新しい走査、特にインサイドアウト、ダブル・グレイコード、以及び枠組みの反転走査を導入し、形式的に記述すること。
• すべての16走査に対して、再帰的アルゴリズムを用いて走査順序およびその逆変換（座標から走査インデックスへの変換）を効率的に計算可能にする。
• 局所性を保つおよび測度を保つ性質を確保することで、計算幾何学、データ構造、並列計算分野における実用的応用を支援すること。

提案手法

• 部分立方体／単体のインデキシング、変換（回転、反転、逆順）、座標の置換に基づく再帰的表記体系を採用し、各走査を定義する。
• d次元単位立方体または単体を2^dまたは3^d個の部分セルに再帰的に分割し、各部分セルを基本走査のスケーリング・変換版に従って走査する。
• 符号付き置換および重心座標を用いて幾何的対称性を符号化し、特にヒル・Zおよび枠組みの反転曲線などの単体的走査に特化する。
• 各再帰レベルで変換の順序を慎重に選択することで、連続性（端点の一致）および局所性の保持を体系的に確保するための方法を提案する。
• ビット操作と再帰的分解を用いて、グリッド点の走査インデックスおよびその逆変換（インデックスから座標への変換）を計算するアルゴリズムを開発する。
• 低次元走査の繰り返し適用（スクエアリング操作）を用いて高次元走査を生成し、モジュラーな構築を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間満たし走査を、一貫性があり曖昧さのない定義で任意次元に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 回転、反転、再順序付けのどの組み合わせが、d次元で連続的かつ局所性を保つ走査を生じさせるか？
• RQ3 Z順序やグレイコードなどの不連続走査を、明確な変換則を伴ってd次元に体系的に拡張できるか？
• RQ4 特定の走査（例：半面連続的）が高次元に存在できない幾何的および位相的制約は何か？
• RQ5 すべての16走査に対して、再帰的でビットレベルの操作を用いたインデキシングと逆変換を効率的に実装するにはどうすればよいか？

主な発見

• 本稿では、16種の異なる空間満たし走査が、統一的表記体系を用いて任意次元に一般化された。そのうち5つは不連続、11つは連続走査である。
• ベイスキャンプ、ハーモニウス、アルファ、ベータ、およびブッツ・ヒルベルト曲線が、連続性と局所性の保持を保証する正確な変換則を伴い、d次元に形式的に拡張された。
• ペアノ、コイル、ハーフ・コイル、およびムールト曲線（3^d分割に基づく）がd次元に一般化され、走査および逆計算のためのアルゴリズムが提供された。
• インサイドアウトおよびダブル・グレイコード走査が、新規の自己相似的不連続走査として導入され、優れた局所性とビット並列インデキシング特性を有する。
• ヒル・Zおよび枠組みの反転曲線がd次元単体に対して形式的に定義され、後者は対称的反転パターンにより面連続性を達成した。
• すべての16走査に対して効率的な走査インデキシングおよび逆変換を実行可能なソフトウェアプロトタイプが実装された。この実装は再帰的分解とビット操作を活用している。