[論文レビュー] Size bias, sampling, the waiting time paradox, and infinite divisibility: when is the increment independent?

Richard Arratia, Larry Goldstein|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2010

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 12被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、サイズバイアス分布 $X^*$ を持つ確率変数 $X$ が、$Y \geq 0$ かつ $X$ と $Y$ が独立であるような $X^* = X + Y$ と表現可能となる条件を調査する。この分解が可能となるのは、$X$ が無限に分割可能であるとき、かつそのときに限ることを確立し、サイズバイアスと再生理論、待ち時間パラドックス、および数論的分布（ディクマン関数やブッフスタブ関数）を結びつける。

ABSTRACT

With $X^*$ denoting a random variable with the $X$-size bias distribution, what are all distributions for $X$ such that it is possible to have $X^*=X+Y$, $Y\geq 0$, with $X$ and $Y$ {\em independent}? We give the answer, due to Steutel \cite{steutel}, and also discuss the relations of size biasing to the waiting time paradox, renewal theory, sampling, tightness and uniform integrability, compound Poisson distributions, infinite divisibility, and the lognormal distributions.

研究の動機と目的

• 非負の確率変数 $X$ のすべての分布を特定すること。ここで、$Y \geq 0$ かつ $X$, $Y$ が独立であるような $X^* = X + Y$ が成り立つこと。
• ポアソン過程におけるサイズバイアスと待ち時間パラドックスの関係を明確化すること。
• サイズバイアスが標本抽出、再生理論、および無限に分割可能性において果たす役割を検討すること。
• 特に数論的関数（ディクマンの $\rho(u)$ およびブッフスタブの $\omega(u)$）に関連するサイズバイアスから生じる分布を特徴付けること。
• 分解 $X^* = X + Y$ を通じて、サイズバイアス、複合ポアソン分布、および無限に分割可能性の概念を統合すること。

提案手法

• サイズバイアス分布の定義を用いる：有界連続関数 $g$ に対して $\mathbb{E}[g(X^*)] = \frac{1}{\mathbb{E}[X]} \mathbb{E}[X g(X)]$。
• 密度関数の導出に $dF_{X^*}(x) = \frac{x}{\mathbb{E}[X]} dF(x)$ の変換を適用する。
• 指数的到着間隔と記憶なし性の対比による待ち時間パラドックスの分析。
• 特に一様分布 $Y$ が $(0,1)$ または $(\beta,1)$ の場合の $g_a(x)$ に対する微分差分方程式を導出する。
• 独立な $Y \geq 0$ に対して $X^* = X + Y$ が成り立つのは、$X$ が無限に分割可能であるとき、かつそのときに限ることを確立する。
• 畳み込み累乗と複合ポアソン構成を用いて、$X$ をディクマンの $\rho(u)$ やブッフスタブの $\omega(u)$ などの数論的関数と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの非負の確率変数 $X$ に対して、独立な $Y \geq 0$ が存在して $X^* = X + Y$ が成り立つか？
• RQ2 サイズバイアスはポアソン過程における待ち時間パラドックスをどのように解消するか？
• RQ3 分布的分解におけるサイズバイアスと無限に分割可能性の関係は何か？
• RQ4 サイズバイアスされた $X$ の密度関数は、微分差分方程式および数論的関数とどのように関係するか？
• RQ5 サイズバイアス分布は、群のサイズが不均一な集団からの標本抽出において、どのような役割を果たすか？

主な発見

• 独立な $Y \geq 0$ に対して $X^* = X + Y$ が成り立つのは、$X$ が無限に分割可能であるとき、かつそのときに限る。
• 待ち時間パラドックスは、到着時刻が区間内で一様分布に従う場合、到着間隔の長さバイアス分布が生じることに起因し、記憶なしの期待とは異なることを認識することで解消される。
• 期待値 $\mathbb{E}[X] = 1$ の場合、サイズバイアス版 $X^*$ は $\mathbb{P}(X^* = k) = k \mathbb{P}(X = k)$ を満たす。これは、群のサイズに関する調査における標本バイアスの説明に役立つ。
• ディクマン関数 $\rho(u)$ は、$Y \sim \text{Uniform}(0,1)$ のときの $X$ の密度関数として現れ、$x > 0$ に対して $\rho'(x) = -\rho(x-1)/x$ を満たし、$[0,1]$ では $\rho(x) = 1$ である。
• ブッフスタブ関数 $\omega(u)$ は、ランダム整数の最小素因数の分布を支配し、$X$ が $\mathbb{P}(X=0) = \beta^t$ を持つ複合ポアソン分布である場合、$\mathbb{P}(a < X < b) = \int_a^b \omega(x/\beta) \, dx$ を満たす。
• サイズバイアス分布の $X$ は、$\mathbb{P}(X=0) > 0$ の場合、欠損密度関数となる。これは、$\beta > 0$ の場合に生じ、小さい素因数を持たない整数の漸近的割合と関連する。