[論文レビュー] Size-Ramsey numbers of powers of hypergraph trees and long subdivisions

Shoham Letzter, Alexey Pokrovskiy+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2021

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、固定された $r, s, t$ に対して、$n$ 頂点を持つ $r$-uniformなタイトパスの $t$-乗の $s$-色サイズ・ラムゼー数が $n$ に対して線形であることを確立している。さらに、有界次数のハイパーグラフツリーのべきおよび有界次数のハイパーグラフの長い分割も、サイズ・ラムゼー数が線形であることを証明しており、Dudek, La Fleur, Mubayi, Rödl が提起したハイパーグラフパスにおけるサイズ・ラムゼー数の線形性に関する予想を解決している。

ABSTRACT

The $s$-colour size-Ramsey number of a hypergraph $H$ is the minimum number of edges in a hypergraph $G$ whose every $s$-edge-colouring contains a monochromatic copy of $H$. We show that the $s$-colour size-Ramsey number of the $t$-power of the $r$-uniform tight path on $n$ vertices is linear in $n$, for every fixed $r, s, t$, thus answering a question of Dudek, La Fleur, Mubayi, and Rödl (2017). In fact, we prove a stronger result that allows us to deduce that powers of bounded degree hypergraph trees and powers of `long subdivisions' of bounded degree hypergraphs have size-Ramsey numbers that are linear in the number of vertices. This extends and strongly generalises recent results about the linearity of size-Ramsey numbers of powers of bounded degree trees and of long subdivisions of bounded degree graphs.

研究の動機と目的

• 固定された $r$-uniformなタイトパスにおけるサイズ・ラムゼー数の線形性に関する、Dudek, La Fleur, Mubayi, Rödl の予想を解決すること。
• ベックのパスのサイズ・ラムゼー数に関する結果をハイパーグラフおよびそのべきに一般化すること。
• 有界次数のハイパーグラフツリーのべきおよび有界次数のハイパーグラフの長い分割における線形サイズ・ラムゼー数を確立すること。
• 最近の有界次数のグラフのべきに関する結果をハイパーグラフ設定へと拡張すること。

提案手法

• $r$-uniformなタイトパスの $t$-乗を、長さ $r + t - 1$ の区間に含まれる $r$-集合を辺とするハイパーグラフとして定義する。
• 任意の $s$-辺彩色において、タイトパスの $t$-乗の単色コピーを保証する $O(n)$ 時間のホストハイパーグラフ $G$ を確率的構成によって構築する。
• 単色包含を保証するため、ハイパーグラフに特化したスパarsな正則性法および埋め込み技術を適用する。
• 辺連結性に関する構造的分解と帰納法を用いて、ハイパーグラフツリーおよび長い分割へと議論を一般化する。
• 既知の有界次数のグラフに関する結果を、ハイパーグラフ正則性および密度に関する議論を用いてハイパーグラフへと拡張する。
• ハイパーグラフツリーにおける距離および接続性の精密な解析を用いて、サイズ・ラムゼー数の成長を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $r, s, t$ に対して、$n$ 頂点を持つ $r$-uniformなタイトパスの $t$-乗の $s$-色サイズ・ラムゼー数は $n$ に対して線形か？
• RQ2 有界次数のハイパーグラフツリーのべきは線形サイズ・ラムゼー数を持つか？
• RQ3 有界次数のハイパーグラフの長い分割は線形サイズ・ラムゼー数を持つか？
• RQ4 グラフからハイパーグラフへと、サイズ・ラムゼー数の線形性をタイトパスを越えて拡張できるか？

主な発見

• 固定された $r, s, t$ に対して、$n$ 頂点を持つ $r$-uniformなタイトパスの $t$-乗の $s$-色サイズ・ラムゼー数は $O(n)$ である。
• 有界次数のハイパーグラフツリーのべきのサイズ・ラムゼー数は、頂点数に対して線形である。
• 有界次数のハイパーグラフの長い分割のサイズ・ラムゼー数は、頂点数に対して線形である。
• 本結果は、ハイパーグラフパスにおけるサイズ・ラムゼー数の既存の上限を強化し、$r \geq 4$ のとき $\hat{r}(P_n^{(r)}) = O(n)$ が成り立つかどうかという未解決問題を解決している。
• 本稿は、単純なパスを越えて、ハイパーグラフへと線形サイズ・ラムゼー数を一般化する初の結果を提供している。
• 証明技法はハイパーグラフツリーおよび分割へと拡張可能であり、より広範なハイパーグラフ族においても強固であることが示された。