[論文レビュー] Skew Generalized Quasi-Cyclic Codes over Finite Fields

Jian Gao, Linzhi Shen+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、非可換なスカラー多項式環の理論を拡張することで、有限体上の歪一般化巡回（GQC）符号を導入し、歪多項式環上での中国剰余定理を用いて、標準的分解を確立する。1生成子歪GQC符号について、パリティ検査多項式、次元の公式、および最小ハミング距離の下界を導出し、歪巡回符号とその双対符号を特徴づける。これにより、既存の符号よりも優れたパラメータを持つ新しい線形符号の構成が可能になる。

ABSTRACT

In this work, we study a class of generalized quasi-cyclic (GQC) codes called skew GQC codes. By the factorization theory of ideals, we give the Chinese Remainder Theorem over the skew polynomial ring, which leads to a canonical decomposition of skew GQC codes. We also focus on some characteristics of skew GQC codes in details. For a 1-generator skew GQC code, we define the parity-check polynomial, determine the dimension and give a lower bound on the minimum Hamming distance. The skew quasi-cyclic (QC) codes are also discussed briefly.

研究の動機と目的

• 非可換な歪多項式環を用いて、有限体上の歪一般化巡回（GQC）符号の構造理論を構築すること。
• 歪多項式環上での中国剰余定理を確立し、歪GQC符号の標準的分解を可能にする。
• パリティ検査多項式の定義、次元の計算、および最小ハミング距離の下界の導出により、1生成子歪GQC符号を特徴づけること。
• 歪巡回（QC）符号を歪GQC符号の特別な場合として扱い、その双対符号を分析すること。
• 歪GQC符号が、これまでに知られている符号よりも優れた最小距離を持つ新しい線形符号の構築可能性を検討すること。

提案手法

• 有限体上の歪多項式環 $\mathbb{F}_q[x,\sigma]$ におけるイデアルの因数分解理論を用い、非可換環上での中国剰余定理を導出する。
• 中国剰余定理を適用して、歪GQC符号を歪巡回符号の直和への標準的分解を実現する。
• 1生成子歪GQC符号のパリティ検査多項式を、歪多項式環内での左因子として定義し、符号構造の保存を保証する。
• 生成多項式の最小左公倍（lclm）と自己同型 $\sigma$ の位数を用いて、1生成子歪GQC符号の次元を計算する。
• 歪多項式環に適応されたBCH型の下界を用いて、最小ハミング距離の下界を導出する。
• 歪QC符号を分析し、その双対符号が同じインデックスの歪QC符号であることを示し、$\rho$-生成子符号および自己双対構造に関する結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体上の歪多項式環に中国剰余定理をどのように一般化すれば、歪GQC符号の分解を可能にするか？
• RQ2 1生成子歪GQC符号の構造的性質（パリティ検査多項式、次元など）は何か？
• RQ3 歪多項式環の性質を用いて、1生成子歪GQC符号の最小ハミング距離に下界を設定できるか？
• RQ4 歪QC符号の双対符号はどのように振る舞い、どのような条件下で $\rho$-生成子符号となるか？
• RQ5 歪GQC符号が自己双対となるための条件は何か？また、インデックス $l$ と生成子の数の関係は？

主な発見

• 歪多項式環 $\mathbb{F}_q[x,\sigma]$ 上での中国剰余定理を用いて、歪GQC符号の標準的分解が達成され、構造的解析が可能になる。
• 1生成子歪GQC符号の次元は、生成多項式の最小左公倍と自己同型 $\sigma$ の位数によって決定される。
• 歪設定に適応されたBCH型の下界を用いて、1生成子歪GQC符号の最小ハミング距離の下界が導出される。
• 歪QC符号の双対符号は、同じインデックスの歪QC符号であり、$\rho$-生成子歪QC符号の双対符号は、$\mathcal{K}'$（成分の最小次元）を用いて $(l - \mathcal{K}')$-生成子符号である。
• 1生成子歪QC符号の双対符号が1生成子であるための必要十分条件は、$l = 2$ かつ各成分の次元が1であることである。
• 結果は $x^m - 1$ が中心的要素であることにより強く依存する。本稿では、この性質が成り立たないモジュール歪GQC符号（この場合、$x^m - 1$ が中心的でない）は、今後の研究課題として提示されている。