[論文レビュー] Skew Hadamard difference sets from cyclotomic strongly regular graphs

Koji Momihara|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限体における巡回的強正則グラフを活用して、初等アーベル群における新しい無限族の歪ハダマード差集合を構成する。ガウス和と巡回的類を用いた指標和計算により、特定の巡回的類の和集合が歪ハダマード差集合を形成する条件を導出し、従来の構成を一般化するとともに、自己同型群の解析によって、ペイリー差集合とは非同型である証拠を提供する。

ABSTRACT

We find new constructions of infinite families of skew Hadamard difference sets in elementary abelian groups under the assumption of the existence of cyclotomic strongly regular graphs. Our construction is based on choosing cyclotomic classes in finite fields.

研究の動機と目的

• 有限体における巡回的類を用いて、ペイリー構成を超えた歪ハダマード差集合の既知の構成を拡張すること。
• 巡回的強正則グラフの存在と歪ハダマード差集合の形成との間の関係を調査すること。
• 巡回的強正則グラフの存在を仮定して、初等アーベル群における新しい無限族の歪ハダマンド差集合を提供すること。
• 巡回的類の和集合が歪ハダマンドまたはペイリー型部分差集合を生成する条件を特定すること。
• 構成された差集合が古典的ペイリー差集合と非同型であることを計算的証拠で示すこと。

提案手法

• 有限体 $ \bbF_q $ における巡回的類 $ C_i^{(k,q)} $ を用い、ここで $ q = p^f $ であり、$ k \neq 1 $ が $ q-1 $ を割り切る。
• インデックス $ 2 $ または $ 4 $ のガウス和を含む指標和技術を用いて、巡回的類の和集合の構造を分析する。
• 差集合を $ D = \bigcup_{i \text{ in } I} C_i^{(k,q)} $ の形で構成し、ここで $ I $ は $ (\bbZ/k\bbZ)^* $ 内の $ \form{p} $ の陪集合の和集合である。
• 強正則性と差集合の性質を保証するために、$ p^t \not\to -1 \bmod k $ だが、$ p $ が $ (\bbZ/k\bbZ)^* $ においてインデックス $ 2 $ または $ 4 $ を持つという条件を用いる。
• 導出された対称デザインの自己同型群の位数を用いて、ペイリー差集合と比較し、非同型性を推論する。
• 定理 3.4 を適用して、$ (\bbZ/k\bbZ)^* / \form{p} $ の構造に基づき、散発的な例を無限族に一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 $ \bbF_q $ における巡回的類の和集合が、いつ歪ハダマンド差集合を形成するか。
• RQ2 巡回的強正則グラフの存在は、同じ群における歪ハダマンド差集合の存在を示唆できるか。
• RQ3 本論文で構成された新しい歪ハダマンド差集合は、古典的ペイリー差集合と非同型であるか。
• RQ4 ガウス和および相対ガウス和は、このような差集合のパラメータを特徴付けるために果たす役割は何か。
• RQ5 差集合から導かれる対称デザインの自己同型群を用いて、ペイリー型デザインとの非同型性を検出できるか。

主な発見

• 本論文は、巡回的強正則グラフの存在を仮定して、初等アーベル群における無限族の歪ハダマンド差集合を、巡回的類の和集合を用いて構成する。
• $ (p, f, p_1) = (3,5,11), (5,9,19), (17,33,67), (3,53,107), (41,81,163), (5,249,499) $ の場合、集合 $ D = \bigcup_{i \notin \text{odd cosets}} C_i^{(2p_1, p^f)} $ は歪ハダマンド差集合を形成する。
• 場合 $ (p,f,p_1) = (7,3,19) $ において、差集合 $ D $ から導かれるデザインの自己同型群の位数は $ 3^4 \times 7^3 $ であり、ペイリーの場合の $ 3^3 \times 7^3 \times 19 $ とは異なり、非同型性を証明する。
• 場合 $ (p,f,p_1) = (3,5,11) $ において、$ \text{Aut}(Dev(D)) = 3^5 \times 5 \times 11 $ であるのに対し、$ \text{Aut}(Dev(P)) = 3^5 \times 5 \times 11^2 $ であるため、ペイリー差集合とは非同型であることが確認される。
• パラメータ $ (p_1, p, f) = (31,5,3) $ および $ (307,17,3) $ のペイリー型強正則グラフは、古典的ペイリー・グラフとは同型でないため、新たな srg の族であることが示される。
• 定理 3.4 を用いて、表 1 の散発的な例を一般化し、特に $ p_1 = A^2 + 4 $ かつ $ A \not\to 0 \bmod 4 $ の場合に、3つの新しい無限族を導出する。