[論文レビュー] Skew-Hadamard matrices of orders 188 and 388 exist

Dragomir Ž. Djoković|ArXiv.org|Apr 4, 2007

graph theory and CDMA systems参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、それぞれの位数47および97の巡回群における差分族を用いて、188および388の位数の最初に知られている歪ハダマール行列を構成している。これらの族にゴエタールス–セイデル配列を適用することで、著者はこのような行列の存在を証明し、歪ハダマール行列の未知の位数リストにおける長年の未解決事項を解消した。

ABSTRACT

We construct several difference families on cyclic groups of orders 47 and 97, and use them to construct skew-Hadamard matrices of orders 188 and 388. Such difference families and matrices are constructed here for the first time. The matrices are constructed by using the Goethals-Seidel array.

研究の動機と目的

• 188および388の位数の歪ハダマール行列の存在を解決すること。
• 既知の歪ハダマール行列の位数リストを、新しい例の構成によって拡張すること。
• 位数47および97の巡回群における差分族が、ゴエタールス–セイデル配列を介して歪ハダマール行列を生成できることを示すこと。
• 位数4n（n=47およびn=97）の歪ハダマール行列を生じるZ_47およびZ_97における明示的な補完的差分集合の構成を提供すること。

提案手法

• 著者は巡回群Z_47に4つの異なる差分族を構成する：2つの3-(47;30,22,22;39)族と2つの3-(47;21,19,19;24)族。
• Z_97では、位数3の部分群の陪類を用いて、2つの4-(97;48,39,48,51;89)差分族を構成する。
• 各差分族に属する集合の特性ベクトルから巡回行列を形成する。
• ゴエタールス–セイデル配列を巡回行列に適用し、スカラ型集合を用いて、結果の行列が歪ハダマール型であることを保証する。
• 差分族のパラメータが補完的差分集合条件を満たすことを、計算的検証によって確認する。
• ベース集合の1つがスカラ型（すなわち、その負集合と互いに素）であることから、歪ハダマール性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 188の位数の歪ハダマール行列は存在するのか？ もし存在するならば、明示的に構成可能か？
• RQ2 Z_97における差分族を用いて、388の位数の歪ハダマール行列を構成可能か？
• RQ3 Z_47およびZ_97に、以前に未知であった歪ハダマール行列を生じる新しい補完的差分集合は存在するか？
• RQ4 新たに発見された差分族をゴエタールス–セイデル配列に効果的に適用することで、歪ハダマール行列を生成可能か？
• RQ5 構成された差分族は、既存のものとは同値でないか？ そして、それらは異なる歪ハダマール行列を導くか？

主な発見

• 本稿では、188の位数の歪ハダマール行列の初の明示的構成を提示している。
• 本稿では、388の位数の歪ハダマール行列の初の明示的構成を提示している。
• Z_47に4つの異なる差分族が構成された：2つの3-(47;30,22,22;39)族と2つの3-(47;21,19,19;24)族。
• Z_97に2つの異なる4-(97;48,39,48,51;89)差分族が、陪類の和集合を用いて構成された。
• 188および388の位数の歪ハダマール行列は、ゴエタールス–セイデル配列および1つのベース集合のスカラ型性質によって確認された。
• 構成により、n=47およびn=97は、歪ハダマール行列の未知の位数リストから除外され、300未満の奇数のnについて残りの未解決整数は42個に減少した。