[論文レビュー] Skew Product Attractors and concavity

Lluı́s Alsedà, Michał Misiurewicz|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、基本写像の可逆性や吸引集合の不変性に関する仮定を緩和する、スケア製品吸引集合のための新規フレームワークを提示する。非可逆な基本写像が過去依存の吸引集合を消去する際の「消える吸引集合の謎」を解明する。単調で等凹なスケア製品に対して、可逆でエルゴディックな基本写像が測度を保存する場合、繰り返し適用された繊維写像の引き戻し極限が、ほとんど everywhere で正である関数を導き、そのグラフが全測度の吸引域を持つ吸引集合を形成することを示す。これは、凹性そのものが、エルゴディック平均化を伴わずとも繊維収縮を保証することを示している。

ABSTRACT

We propose an approach to the attractors of skew products that tries to avoid unnecessary structures on the base space and rejects the assumption on the invariance of an attractor. When nonivertible maps in the base are allowed, one can encounter the mystery of the vanishing attractor. In the second part of the paper, we show that if the fiber maps are concave interval maps then contraction in the fibers does not depend on the map in the base.

研究の動機と目的

• ランダム・非周期的・奇妙で非カオス的系を含め、スケア製品における吸引集合を統一的かつ構造を最小限に抑えたフレームワークを構築すること。
• 未来のダイナミクスが変わっていないにもかかわらず、基本写像の可逆性を失うと吸引集合が消えるという『消える吸引集合』のパラドックスに取り組むこと。
• 繊維写像の凹性が引きつけを保証する役割を隔離し、それが収縮の真の駆動要因であることを示すこと。
• 不変性が保証されない場合でも、可測関数または連続関数のグラフとして吸引集合が存在する条件を特定すること。
• 吸引集合構成における位相的正則性（連続性）と測度論的存在性（ほとんど everywhere）の間の矛盾を解消すること。

提案手法

• 不変性を要しない一般化された吸引集合の概念を導入し、前方ダイナミクスと繊維ごとの収束に焦点を当てる。
• 引き戻し列を用いて吸引集合を構成する：ϕn(ϑ) = π2(F^n(ϑ, a))、ここで a は繊維の上界である。
• 繊維空間 [0, a] における単調性とコンパクト性を用いて、(ϕn) が ϕK へ点単位収束することを証明する。
• 基本測度のエルゴディック性を用いて、ϕK がほとんど everywhere でゼロまたはほとんど everywhere で正であることを示し、極限における曖昧さを回避する。
• 補題 6.6 を適用し、ϕK > 0 a.e. ならば、そのグラフが Z × (0, a] において全測度の吸引域を持つ吸引集合であることを示す。
• 非可逆な基本写像における不変性と連続性の失敗を分析し、反例を用いて『消える吸引集合』現象を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケア製品における吸引集合は不変でなくても存在可能であり、その構成と可測性にどのような影響を与えるか？
• RQ2 未来のダイナミクスが変わっていないにもかかわらず、基本写像が非可逆化されると吸引集合が消えるのはなぜか？
• RQ3 繊維写像の凹性が、エルゴディック的または平均化的メカニズムとは独立して、繊維収縮を保証する程度はどの程度か？
• RQ4 繰り返し適用された繊維写像の引き戻し極限 ϕK が、可測な吸引集合グラフを導く条件は何か？
• RQ5 可逆な基本写像と単調等凹写像を伴う単調等凹スケア製品において、そのグラフが吸引集合である連続関数 ϕ が存在するか？

主な発見

• エルゴディックな基本測度の下で、繰り返し適用された繊維写像 F^n(ϑ, a) の引き戻し極限 ϕK は、点単位収束し、ほとんど everywhere でゼロまたはほとんど everywhere で正である。
• ϕK > 0 a.e. ならば、そのグラフは、B の全測度部分集合 Z ⊂ B に対して、Z × (0, a] に全測度の吸引域を持つ吸引集合である。
• 非可逆性が基本写像に及ぶと、以前は存在していた吸引集合が消えるという『消える吸引集合の謎』が生じる。
• 繊維写像の凹性は、基本ダイナミクスに依存せず、繊維内での収縮を保証する。これにより、吸引性の証明にはエルゴディック手法が不要となる。
• 単調等凹な場合で可逆な基本写像を伴う場合、ϕK > 0 a.e. ならば、Borel可測関数 ϕ が存在し、そのグラフは全測度の吸引域を持つ吸引集合である。
• 可逆な基本写像と単調等凹写像を含む強い仮定のもとでも、位相的障害のため、連続な吸引集合グラフの存在は保証されない。