[論文レビュー] Skew products and crossed products by coactions

S. Kaliszewski, John Quigg+1 more|ArXiv.org|Jan 22, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 37

ひとこと要約

本稿は、スカラー積グラフ $E \times_c G$ の C*-代数と、離散群 $G$ の作用による $C^*(E)$ のクロスプロダクトの間の双対性同型を確立し、$C^*(E \times_c G) \cong C^*(E) \times_\delta G$ を示す。カタヤマの双対性定理と、群胚モデルを避ける Kumjian-Pask 定理の新しい初等的証明を用いて、$C^*(E \times_c G)$ 上の $G$ の自然な作用 $\gamma$ がアメーナブルであることを示し、安定同型 $C^*(E \times_c G) \times_\gamma G \cong C^*(E) \otimes \mathcal{K}(\ell^2(G))$ を得る。結果は、アメーナブル性または第二可算性の下で $r$-離散群胚へ拡張可能である。

ABSTRACT

Given a labeling c of the edges of a directed graph E by elements of a discrete group G, one can form a skew-product graph E cross_c G. We show, using the universal properties of the various constructions involved, that there is a coaction delta of G on C*(E) such that C*(E cross_c G) is isomorphic to the crossed product C*(E) cross_delta G. This isomorphism is equivariant for the dual action deltahat and a natural action gamma of G on C*(E cross_c G); following results of Kumjian and Pask, we show that C*(E cross_c G) cross_gamma G is isomorphic to C*(E cross_c G) cross_{gamma,r} G, which in turn is isomorphic to C*(E) tensor K(l^2(G)), and it turns out that the action gamma is always amenable. We also obtain corresponding results for r-discrete groupoids Q and continuous homomorphisms c: Q -> G, provided Q is amenable. Some of these hold under a more general technical condition which obtains whenever Q is amenable or second-countable.

研究の動機と目的

• スカラー積グラフ $E \times_c G$ の C*-代数と、$G$ のコアクションによる $C^*(E)$ のクロスプロダクトの間の双対性同型を確立すること。
• 群胚モデルを避けて、グラフ C*-代数の普遍的性質のみを用いた Kumjian-Pask 定理の初等的証明を提供すること。
• グラフから $r$-離散群胚 $Q$ への双対性およびアメーナブル性の結果を、$c: Q \to G$ という連続な準同型を有するものに、アメーナブル性または第二可算性の下で拡張すること。
• アメーナブルまたは第二可算な $Q$ に対して、$C^*(c^{-1}(e))$ が $C^*(Q)$ に忠実に埋め込まれるかどうかという技術的問題を解決すること。
• $C^*(E \times_c G)$ 上の $G$ の自然な作用 $\gamma$ がアメーナブルであることを示し、これにより全クロスプロダクトと減少クロスプロダクトが一致することを示すこと。

提案手法

• エッジのラベル付け $c$ を用いて、グラフ C*-代数の普遍的性質を活用し、$G$ のコアクション $\delta$ を $C^*(E)$ 上に構成する。
• カタヤマの双対性定理を適用し、$C^*(E \times_c G) \cong C^*(E) \times_\delta G$ を示し、減少クロスプロダクトを用いて $C^*(E \times_c G) \times_{\hat{\delta}} G \cong C^*(E) \otimes \mathcal{K}(\ell^2(G))$ を導出する。
• 群胚モデルを避ける普遍的性質に基づく新しい初等的証明を用いて、$C^*(E \times_c G) \times_\gamma G$ の正則表現が忠実であることを示す。
• $N = c^{-1}(e)$ に対して $C_c(Q)$ 上に $C^*_c(N)$-加群構造を定義し、随伴可能な作用素を用いて $C^*$-セミノルムを構成し、クロスプロダクトを実現する。
• $C^*(E \times_c G)$ 上の $G$ の作用 $\gamma$ がアメーナブルであることを、正則表現が忠実であることを示すことで証明する。全クロスプロダクトと減少クロスプロダクトの理論を用いる。
• $r$-離散群胚 $Q$ に結果を拡張するため、$C^*(Q \times_c G) \cong C^*(Q) \times_\delta G$ をコアクション $\delta$ を用いて証明し、アメーナブル性または第二可算性の下で $C^*(c^{-1}(e)) \hookrightarrow C^*(Q)$ の忠実性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群胚モデルを用いずに、グラフ C*-代数の普遍的性質のみを用いて、$C^*(E \times_c G) \cong C^*(E) \times_\delta G$ の同型を確立できるか？
• RQ2 $C^*(E \times_c G)$ 上の自然な作用 $\gamma$ はアメーナブルか？ そして、これにより全クロスプロダクトと減少クロスプロダクトが一致するか？
• RQ3 アメーナブルまたは第二可算な $r$-離散群胚 $Q$ に対して、部分群胚 $c^{-1}(e)$ の $C^*$-代数 $C^*(c^{-1}(e))$ が $C^*(Q)$ に忠実に埋め込まれるか？
• RQ4 コアクション理論とカタヤマの双対性定理を用いて、双対性同型 $C^*(E \times_c G) \times_\gamma G \cong C^*(E) \otimes \mathcal{K}(\ell^2(G))$ を回復できるか？
• RQ5 コアクションと双対性の文脈において、$C^*(E \times_c G)$ の減少クロスプロダクト $C^*(E \times_c G) \times_{\gamma,r} G$ と全クロスプロダクト $C^*(E \times_c G) \times_\gamma G$ の関係は何か？

主な発見

• スカラー積グラフ $E \times_c G$ の C*-代数は、$G$ のコアクション $\delta$ を通じて、$C^*(E) \times_\delta G$ に同型であることが、普遍的性質によって示された。
• $C^*(E) \times_\delta G$ 上の双対作用 $\hat{\delta}$ は、$C^*(E \times_c G)$ 上の作用 $\gamma$ に同型であり、等変性が確立された。
• $C^*(E \times_c G) \times_\gamma G$ の正則表現が忠実であるため、作用 $\gamma$ がアメーナブルであることが証明された。
• 安定同型 $C^*(E \times_c G) \times_\gamma G \cong C^*(E) \otimes \mathcal{K}(\ell^2(G))$ が成り立ち、双対性を用いて Kumjian-Pask の結果が回復された。
• $c: Q \to G$ が連続な準同型である $r$-離散群胚 $Q$ に対して、$C^*(Q \times_c G) \cong C^*(Q) \times_\delta G$ がコアクション $\delta$ を通じて成り立ち、グラフの場合を一般化した。
• 群胚 $Q$ がアメーナブルまたは第二可算であるとき、$C^*(c^{-1}(e)) \hookrightarrow C^*(Q)$ の埋め込みは忠実であり、群胚設定における重要な技術的問題が解決された。