[論文レビュー] Skewness and kurtosis as locally best invariant tests of normality

Akimichi Takemura, Muneya Matsui+1 more|ArXiv.org|Aug 20, 2006

Probability and Risk Models参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ややきつい正則性条件のもとで、標本の歪度と尖度が正規性の局所的最良不変（LBI）検定であることを確立し、非対称な代替仮説に対しては歪度が最適であり、対称な代替仮説に対しては尖度が最適であることを証明する。結果は正規混合分布、無限に分割可能な分布、および正則性が成り立たないケース（例：安定分布族）へと拡張され、モーメントに基づく正規性検定の統一的理論的基盤を提供する。

ABSTRACT

Consider testing normality against a one-parameter family of univariate distributions containing the normal distribution as the boundary, e.g., the family of $t$-distributions or an infinitely divisible family with finite variance. We prove that under mild regularity conditions, the sample skewness is the locally best invariant (LBI) test of normality against a wide class of asymmetric families and the kurtosis is the LBI test against symmetric families. We also discuss non-regular cases such as testing normality against the stable family and some related results in the multivariate cases.

研究の動機と目的

• E.S.ピアソンが1935年に提起した仮説、すなわちモーメントに基づく検定（歪度および尖度）が正規性からの微小な逸脱を検出するのに最適である、という仮説を形式的に証明すること。
• 正規分布が境界に位置する1パラメータ族の分布に対して、一般の正則性条件下で標本歪度および尖度の局所的最良不変（LBI）性を確立すること。
• 標準的な正則性条件が成り立たない非正則なケース（例：安定分布族への検定）に対してLBI枠組みを拡張すること。また、一般線形群と三角行列群の異なる不変性群を有する多次元設定に対しても拡張すること。
• フェルガソン（1961）およびハジェク＆シダクの既存の結果を、一貫した理論的枠組みに統合・明確化すること。

提案手法

• 位置スケール変換における最大不変量の尤度比を導出。ウィスマン（1967, 1990）およびハジェク＆シダク（1967）の結果を活用する。
• θ=0が標準正規分布に対応する位置スケール密度の1パラメータ族にLBI枠組みを適用する。
• 大標本サイズnにおけるLBI検定統計量の漸近的挙動を、ラプラス近似を用いて分析する。
• LBI検定統計量が標本モーメントの線形結合に簡約され、非対称な代替仮説に対しては歪度、対称な代替仮説に対しては尖度が最適な検定統計量として現れることを確立する。
• 正則性条件が成立しない非正則なケース（例：安定族）を分析し、代替族を構成するための関数的自由度が有効に機能することを示す。
• 多次元正規性検定へと結果を拡張し、一般線形群と三角行列群の異なる不変性群を区別し、片側代替仮説への影響を議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1パラメータ族の分布における非対称な逸脱を検出する際、標本歪度は局所的最良不変検定であるか？
• RQ2 1パラメータ族の分布における対称的で重い尾を持つ逸脱を検出する際、標本尖度は局所的最良不変検定であるか？
• RQ3 正規混合モデルや無限に分割可能な分布を含む族において、一般正則性条件下で歪度および尖度のLBI性を形式的に確立できるか？
• RQ4 標準的な正則性条件が成立しない非正則族（例：安定分布族）に対して、LBI結果はどのように拡張されるか？
• RQ5 一般線形群と三角行列群などの異なる不変性群は、多次元正規性検定にどのような影響を及ぼすか？

主な発見

• 標本歪度は、広範な非対称1パラメータ族の分布に対する正規性の局所的最良不変検定である。
• 標本尖度は、重い尾を持つ対称的1パラメータ族の分布に対する正規性の局所的最良不変検定である。
• 正規混合モデルおよび有限分散を有する無限に分割可能な分布に対して、LBI性が成立し、これらの設定におけるモーメントに基づく検定の最適性が確認される。
• 安定族では正則性条件が成立しないが、代替族を構成するための関数的自由度のおかげで、LBI枠組みは依然として適用可能である。
• 多次元設定では、不変性群の選択（一般線形群対三角行列群）が異なるLBI検定を生じさせ、三角行列群は片側代替仮説を保存する。
• 大標本nにおけるLBI検定統計量はラプラスの方法により近似可能であり、最適な検定が標本モーメントの線形結合と漸近的に同等であることが示される。