[論文レビュー] Skewness Premium with Lévy Processes

José Fajardo, Ernesto Mordecki|ArXiv.org|Oct 24, 2008

Insurance and Financial Risk Management被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、対称性を要しない一般の Lévy プロセスに、Bates (1991) の歪度プレミアム (SK) に対する x% ルールを拡張し、リスク中立測度下での Lévy トリプレットに対する、SK が正または負であるための十分条件を導出する。SK > x が β > -1/2 のとき、SK < x が β < -1/2 のときに成り立つことが示され、Lévy プロセスに基づく資産リターンの歪度をモデル化するための診断ツールが提供される。

ABSTRACT

We study the skewness premium (SK) introduced by Bates (1991) in a general context using Lévy Processes. Under a symmetry condition Fajardo and Mordecki (2006) obtain that SK is given by the Bate's $x%$ rule. In this paper we study SK under the absence of that symmetry condition. More exactly, we derive sufficient conditions for SK to be positive, in terms of the characteristic triplet of the Lévy Process under the risk neutral measure.

研究の動機と目的

• 対称モデルに限らない一般の Lévy プロセスへ、Bates の x% ルールを歪度プレミアム (SK) に一般化すること。
• リスク中立測度下での Lévy トリプレット (a, σ², Π) に対して、SK が正または負であるための十分条件を同定すること。
• Fajardo と Mordecki (2006b) で以前に要求されていた対称性条件が欠如する状況における歪度プレミアムの符号を分析すること。
• オプションプライシングで観察される歪度と一致する Lévy ドリブン モデルの選択を支援する診断フレームワークを提供すること。
• Lévy メジャーにおける対称性パラメータ β に関するオプション価格の単調性を調査すること。

提案手法

• リスク中立測度下での Lévy プロセスの特性トリプレット (a, σ², Π) を特徴付けるために、Lévy-Khintchine 表現を用いる。
• Fajardo と Mordecki (2006b) のプット・コール双対性フレームワークを適用し、Lévy ダイナミクス下でのコール・プット価格の関係を導出する。
• 非対称性をモデル化するため、y ≠ 0 に対して Π(dy) = |y|^{β-1} e^{-λ|y|} dy というパラメトリックな Lévy メジャーの形を導入する。β ∈ (-1, 1) とする。
• 凸性を保つ性質と同等マルティンググール測度の順序付けを活用して、対称性パラメータ β に関する単調性の議論を展開する。
• Gushin と Mordecki (2002) および Bergenthüm (2007) の結果を応用し、オプション価格の β に関する単調性の十分条件を確立する。
• 主要な不等式を導出：β > -1/2 ⇒ SK(x) > x、および β < -1/2 ⇒ SK(x) < x（x > 0 に対して）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称性が欠如する状況下で、Lévy トリプレットのどの条件下で歪度プレミアム (SK) が正または負になるか？
• RQ2 特に Lévy メジャーにおける対称性パラメータ β との関係において、一般の Lévy プロセス下で歪度プレミアムはどのように振る舞うか？
• RQ3 Bates (1991) の x% ルールを非対称 Lévy プロセスに拡張可能か？また、その成立条件は何か？
• RQ4 オプション価格が対称性パラメータ β に関して単調になるための Lévy メジャーの十分条件は何か？
• RQ5 歪度プレミアムは、Lévy ドリブン モデルにおける潜在分布の歪度をどの程度反映しているか？

主な発見

• Lévy メジャーが Π(dy) = |y|^{β-1} e^{-λ|y|} dy の形をとる Lévy プロセスでは、β > -1/2 ならば SK(x) > x、β < -1/2 ならば SK(x) < x が成り立つ。
• 歪度プレミアム超過 (SK(x) - x) の符号は、β が -1/2 に対してどの側にあるかにのみ依存し、明確な診断ルールを提供する。
• 本研究の結果は、非ポアソン的ジャンプを含む広範な非対称 Lévy プロセスに、Bates の x% ルールを拡張したものである。
• S&P500 オプションからの実証的証拠は、対称的な x% ルールが成り立たないことを示しており、非対称モデルの必要性を動機づけている。
• オプション価格の対称性パラメータ β に関する単調性のための十分条件が導出され、凸性を保つ性質と測度の順序付けに依拠している。
• 本研究の発見は、特に負または正の歪度を示す市場において、観察されたオプションプライシングの歪度と一致する Lévy モデルの選択の理論的基盤を提供する。