[論文レビュー] SL(2;R)-representations of a Brieskorn homology 3-sphere

Teruaki Kitano, Yoshikazu Yamaguchi|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Brieskornホモロジー3次元球面の無限大でないSL(2;ℂ)-表現を分類し、SU(2)-表現に共役でないような表現は、すべてSL(2;ℝ)-表現に共役であることを証明する。これらのSL(2;ℝ)-表現は、基本オビフォールドの基本群からPSL(2;ℝ)への準同型から生じ、Seifertファイブレーション被覆写像を通じて明確な対応関係を確立する。

ABSTRACT

We classify SL(2;C)-representations of a Brieskorn homology 3-sphere. We show any irreducible representation into SL(2;C) is conjugate to that into either SU(2) or SL(2;R). We also give a construction of SL(2;R)-representations for a Brieskorn homology 3-sphere from PSL(2;R)-representations of the base orbifold fundamental group.

研究の動機と目的

• Brieskornホモロジー3次元球面の無限大でないSL(2;ℂ)-表現を分類すること。
• この文脈において、無限大でないSL(2;ℂ)-表現とSU(2)-表現との間の構造的差異を特定すること。
• 基本オビフォールドの基本群のPSL(2;ℝ)-表現からSL(2;ℝ)-表現を構成すること。
• 3次元球面のSL(2;ℝ)-表現とオビフォールド基本群のPSL(2;ℝ)-表現との間の明確な対応関係を確立すること。
• SL(2;ℝ)-表現の数が、Casson不変量および中心拡大のオイラー類に関連する方法を明らかにすること。

提案手法

• 3個の円錐特異点を持つ2次元オビフォールドS²(a₁,a₂,a₃)上のBrieskornホモロジー3次元球面のSeifertファイブレーション構造を利用する。
• 基本群π₁Σ(a₁,a₂,a₃)の表示⟨x,y,z,h | hは中心的、x^{a₁}=h^{-b₁}, y^{a₂}=h^{-b₂}, z^{a₃}=h^{-b₃}, xyz=h^b⟩を活用する。
• オビフォールド基本群Γ(a₁,a₂,a₃) = ⟨x,y,z | x^{a₁}=y^{a₂}=z^{a₃}=xyz=1⟩のPSL(2;ℝ)-表現を上に上げることでSL(2;ℝ)-表現を構成する。
• H²(Γ;ℤ)に値をとるオイラー類eを用いたトレース公式を適用し、生成子のトレースを計算する：tr(ρ(x)) = 2cos(π|e|b₁/a₁) など。
• Seifertファイバード空間間の被覆写像を用いて、異なるファイブレーション間の表現を関連付ける。
• トレースの比較と、SL(2;ℝ)-表現がトレースデータによって共役性まで一意に定まることを用いて、共役性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Brieskornホモロジー3次元球面のすべての無限大でないSL(2;ℂ)-表現は、SU(2)またはSL(2;ℝ)表現に共役であるか？
• RQ2 3次元球面のSL(2;ℝ)-表現は、基本オビフォールドの基本群の表現から体系的に構成可能か？
• RQ3 3次元球面のSL(2;ℝ)-表現とオビフォールド基本群のPSL(2;ℝ)-表現との間の正確な対応関係は何か？
• RQ4 SL(2;ℝ)-表現の数は、Casson不変量やオイラー類といった位相的不変量とどのように関係するか？
• RQ5 Brieskornホモロジー3次元球面が、オイラー類によって誘導されるSeifertファイブレーションの系列においてファイバード空間として現れる条件は何か？

主な発見

• 任意のBrieskornホモロジー3次元球面の無限大でないSL(2;ℂ)-表現は、SU(2)-表現またはSL(2;ℝ)-表現に共役である。
• 無限大でないSL(2;ℝ)-表現の共役類の数は、SL(2;ℂ)-Casson不変量と2倍のSU(2)-Casson不変量の差に等しい。
• Σ(2,3,6n+1)に対しては、正確にn個の無限大でないSL(2;ℝ)-表現の共役類が存在し、λ_SL(2;ℂ) - 2|λ|に一致する。
• SL(2;ℝ)-表現は、H²(Γ;ℤ)に値をとるオイラー類を用いた上昇プロセスにより、基本オビフォールド基本群のPSL(2;ℝ)-表現から誘導される。
• Σ(3,5,7)に対しては、β = -1 かつ β₁/3 + β₂/5 + β₃/7 < 1 を満たすオイラー類から、4つの異なるSL(2;ℝ)-表現が生じ、対応するSeifert空間で非自明なホモロジーを持つ。
• Σ(2,3,6n+1)における生成子Zのトレースは、n−kの偶奇に応じて2cos(πk/(6n+1)) または 2cos(π - πk/(6n+1)) に等しく、表現がSL(2;ℝ)型であることが確認される。