[論文レビュー] SL(2,Z) Action On Three-Dimensional Conformal Field Theories With Abelian Symmetry

Edward Witten|ArXiv.org|Jul 3, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 11被引用数 70

ひとこと要約

この論文は、3次元 conformal field theory (CFT) に $U(1)$ 対称性がある場合、2つの操作である $S$-duality と $T$-変換を定義することで、$SL(2,\mathbb{Z})$ 活動を確立する。$S$-duality は $U(1)$ ランクをゲージ化し、ゲージ場を運動エネルギーのない動的場として扱う。$T$-変換は、背景ゲージ場の Chern-Simons 水準をシフトする。主な結果は、これらの操作が一貫した $SL(2,\mathbb{Z})$ 対称性を生成することであり、AdS/CFT 対応を通じて 3次元 CFT の双対性と 4次元 $U(1)$ ゲージ理論の双対性を結びつける。

ABSTRACT

On the space of three-dimensional conformal field theories with U(1) symmetry and a chosen coupling to a background gauge field, there is a natural action of the group $SL(2,{\bf Z})$. The generator $S$ of $SL(2,{\bf Z})$ acts by letting the background gauge field become dynamical, an operation considered recently by Kapustin and Strassler in explaining three-dimensional mirror symmetry. The other generator $T$ acts by shifting the Chern-Simons coupling of the background field. This $SL(2,{\bf Z})$ action in three dimensions is related by the AdS/CFT correspondence to $SL(2,{\bf Z})$ duality of low energy U(1) gauge fields in four dimensions.

研究の動機と目的

• 3次元 conformal field theory に $U(1)$ 対称性がある場合に、$SL(2,\mathbb{Z})$ 活動を定義し、厳密に確立すること。
• $S$ および $T$ 生成子の物理的意味を明確化すること：$S$ は $U(1)$ ランクをゲージ化し、運動エネルギーのない動的ゲージ場を導入することを意味し、$T$ は背景ゲージ場の Chern-Simons 水準のシフトを意味する。
• この 3次元 $SL(2,\mathbb{Z})$ 活動が、AdS/CFT 対応を通じて 4次元低エネルギー $U(1)$ ゲージ理論の $SL(2,\mathbb{Z})$ 双対性とどのように関連するかを明らかにすること。
• Chern-Simons 理論の形式的枠組み、2点関数の計算、AdS/CFT のホログラフィーを用いて、$SL(2,\mathbb{Z})$ 活動の一貫性を示すこと。

提案手法

• $S$ 操作は、$U(1)$ ランク $J$ をゲージ化し、背景ゲージ場 $A$ を運動エネルギーのない動的場に昇格させることで定義され、新たな CFT が得られ、そのランクは $\widetilde{J} = *F/2\pi$ となる。
• $T$ 操作は、背景ゲージ場の Chern-Simons コefficient のシフトとして定義され、$T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ に対応し、ランクの2点関数に接触項を加える。
• Chern-Simons 理論の技法を用いた形式的計算により、$S$ および $T$ 操作が $SL(2,\mathbb{Z})$ 代数を満たすことが確認され、$(ST)^3 = 1$ および $S^2 = -1$ の関係が成り立つ。
• ほぼガウス型のランク2点関数をもつ理論に対して、$S$ および $T$ の作用を明示的に計算し、$SL(2,\mathbb{Z})$ と整合する変換性が得られた。
• AdS/CFT 対応を用いて、境界 CFT における $S$ 操作を、4次元 AdS 空間における $U(1)$ ゲージ場の電磁双対性として解釈する。$\vec{B}=0$ および $\vec{E}=0$ の境界条件は、ディリクレおよびノイマン型の条件に対応する。
• この構成は、バルクにおける非アーベルゲージ理論へ拡張され、$\vec{B}=0$ および $\vec{E}=0$ の境界条件は、グローバル $G$ 対称性をもつ双対 CFT を生成する。また、$\theta \to \theta + 2\pi$ のシフトは、境界条件に応じて2点関数または Chern-Simons 水準を変化させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等価性やモジュライ空間の成分を保存しないにもかかわらず、$U(1)$ 対称性をもつ 3次元 CFT に $SL(2,\mathbb{Z})$ 対称性を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 ゲージ場に運動エネルギーを追加せずに $U(1)$ ランクをゲージ化する $S$-双対性操作の物理的意味は何か？
• RQ3 Chern-Simons 水準のシフトとしての $T$-変換は、単独では単純に思えるが、$S$-操作と非自明に相互作用するのはなぜか？
• RQ4 AdS/CFT 対応を通じて、3次元 CFT における $SL(2,\mathbb{Z})$ 活動と 4次元低エネルギー $U(1)$ ゲージ理論における $SL(2,\mathbb{Z})$ 双対性はどのように関連するか？
• RQ5 $SL(2,\mathbb{Z})$ 構造は非アーベルゲージ理論へ一般化可能か？また、異なる境界条件から生じる双対 CFT は何か？

主な発見

• $S$ 操作は、$U(1)$ ランクをゲージ化し、ゲージ場を運動エネルギーのない動的場として扱うことで定義され、$U(1)$ 対称性をもつ 3次元 CFT を別の同様の CFT に写像する。この操作は、$SL(2,\mathbb{Z})$ の生成子 $S = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ に対応する。
• $T$ 操作は、背景ゲージ場の Chern-Simons 水準のシフトとして定義され、$T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ に対応し、ランク2点関数に接触項を加える。
• $S$ および $T$ 操作は、$SL(2,\mathbb{Z})$ の関係 $(ST)^3 = 1$ および $S^2 = -1$ を満たし、$U(1)$ 対称性をもつ 3次元 CFT の空間に一貫した群作用を生成することが確認された。
• 自由フェルミオンの $N_f$ が非常に大きい極限において、$S$ 操作は自由理論を強い結合の 3次元 QED の極限に写像する。これは双対性の明確な実現例である。
• AdS/CFT を通じて、境界 CFT における $S$ 操作は、バルクの 4次元 $U(1)$ ゲージ理論における電磁双対性に対応し、$\vec{B}=0$ および $\vec{E}=0$ の境界条件は、ディリクレおよびノイマン条件の役割を果たす。
• $SL(2,\mathbb{Z})$ 活動は、3次元多様体の位相にのみ依存する位相的性質をもつ。これは、特定の CFT やランク構造に依存せず、位相的位相因子としての変換を示す。