[論文レビュー] SL(3,C)-Character Varieties and RP2-Structures on a Trinion

Sean Lawton|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、2生成子の自由群のSL(3,C)-表現の不変式環に対して、最小生成集合と定義関係を提示し、キャラクター多様体がC^9における超曲面であり、明示的なOut(F2)-対称性を持つことを示している。この不変式環にポアソン代数構造を導入し、三つ孔球面上の凸RP2構造のモジュライ空間をキャラクター多様体内で明示的な代数的条件によって特徴づけている。

ABSTRACT

Denote the free group on two letters by F2 and the SL(3,C)-representation variety of F2 by R = Hom(F2, SL(3, C)). There is a SL(3,C)-action on the coordinate ring of R, and the geometric points of the subring of invariants is an affine variety X. We determine explicit minimal generators and defining relations for the subring of invariants and show X is a hyper-surface in C9. Our choice of generators exhibit Out(F2) symmetries which allow for a succinct expression of the defining relations. We then show C[X] is a Poisson algebra with respect to a presentation of F2 imposed by a punctured surface. We work out the bracket on all generators when the surface is a thrice punctured sphere, or a trinion. The moduli space of convex real projective structures on a trinion, denoted by P,is a subset of X. Lastly, we determine explicit conditions in terms of C[X] that distinguish this moduli space.

研究の動機と目的

• 自由群F2のSL(3,C)-表現の不変式環に対して、最小生成集合と定義関係を特定すること。
• キャラクター多様体XがC^9における超曲面であることを示し、選ばれた生成子を通じてOut(F2)の対称性を明示すること。
• 穴あき表面の表現を用いて、不変式環C[X]にポアソン代数構造を導入すること。
• キャラクター多様体内での三つ孔球面上の凸実射影構造のモジュライ空間Pを、C[X]内の明示的な代数的条件によって部分集合として同定すること。
• より高ランクやより複雑な曲面への一般化を容易にする透明で対称的な枠組みを提供すること。

提案手法

• 生成子を表す行列の座標を用いて、C^9におけるアフィン多様体としてSL(3,C)-表現多様体R = Hom(F2, SL(3,C))を構成する。
• RをSL(3,C)の共役作用で割った商をキャラクター多様体Xと定義し、不変部分環C[R]^SL(3,C)のスペクトルとして実現する。
• C[X]の9個の明示的な代数的に独立な生成子を特定し、それらの定義多項式関係を導出し、XがC^9における超曲面であることを示す。
• 三つ孔球面（三つ孔球）の表面構造を用いて、C[X]にポアソン括弧を誘導し、すべての生成子上でそれを明示的に計算する。
• ゴールドマンらの結果を応用して、凸RP2構造のモジュライ空間PをXの半代数的部分集合として特徴づける。
• Casimirとパラメータs,tを用いた明示的な方程式を用いて、キャラクター写像のP上での纤维を検証し、記号計算（Mathematica）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2生成子の自由群のSL(3,C)-キャラクター多様体に対して、最小生成集合と完全な定義関係の集合は何か？
• RQ2 表現多様体のOut(F2)対称性は、不変式環およびその関係においてどのように明示的に現れるか？
• RQ3 表面が三つ孔球のとき、キャラクター多様体に生じるポアソン構造は何か？ そして、生成子上でそれを明示的にどのように計算できるか？
• RQ4 不変式環内の代数的条件は、キャラクター多様体から三つ孔球面上の凸RP2構造のモジュライ空間をどのように特徴づけるか？
• RQ5 Casimirと幾何的パラメータs,tを用いて、RP2-モジュライ空間上のキャラクター写像の纤维をどのように記述できるか？

主な発見

• キャラクター多様体XはC^9における超曲面であり、9個の不変量からなる最小生成集合から導かれた明示的な定義関係を持つ。
• 不変式環C[X]は、三つ孔球の表面構造から誘導されるポアソン代数構造を備えており、すべての生成子上で括弧関係を明示的に計算可能である。
• 生成子はOut(F2)の対称性を示しており、不変式環の明快で透明な表現を可能にする。
• 三つ孔球面上の凸RP2構造のモジュライ空間Pは、不変量における明示的な多項式不等式によって、Xの半代数的部分集合として特徴づけられる。
• P上のキャラクター写像の纤维は、Casimirと幾何的パラメータs,tに関する方程式によって完全に特定され、記号計算により検証された。
• 境界ホロノミーの最大固有値λ1, λ2, λ3は、不変量を含む3次方程式を満たし、t_{(±4)}はs,tおよびこれらの固有値を用いた有理関数として表現される。