[論文レビュー] SL(n,C)- Representation spaces of Knot Groups

Michael Heusener|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、n ≥ 3 の場合に、結び目群の SL(n,C)-表現および特徴多様体の構造を調査する。SL(3,C) における図8文字結び目群の特徴多様体が5つの既約成分を持つことを確立し、そのうち2つは特定の3次方程式で定義される超曲面と同型である。また、三角形群およびオbihord形基本群への群の上への準同型を用いて、既約表現およびメタアベリアン表現の明示的記述を行う。

ABSTRACT

The first part of this article is a general introduction to the the theory of representation spaces of discrete groups into SL(n,C). Special attention is paid to knot groups. In Section 2 we discuss the difference between the tangent space at the representation variety, and the representation scheme. We give an example of Lubotzky and Magid of a non scheme reduced representation (see Example 2.18). In the second part recent results about the representation and character varieties of knot groups into SL(n,C) with n $\\ge$ 3 are presented. This second part concerns mostly joint work with L. Ben Abdelghani, O. Medjerab, V. Mu{\\~n}os and J. Porti.

研究の動機と目的

• SL(2,C) に限らない、より高いランクの群への SL(n,C)-表現および特徴多様体理論を拡張すること。
• n ≥ 3 の場合に、結び目群の SL(n,C) における特徴多様体の幾何的・位相的構造を分析すること。
• 図8文字結び目群の SL(3,C)-特徴多様体の既約成分への分解を記述すること。
• 三角形群およびオbihord形基本群への群の準同型を用いて、既約表現およびメタアベリアン表現を同定・特徴づけること。
• 特に非還元的ケースにおいて、表現多様体と表現スキームの違いを明確にすること。

提案手法

• 行列成分における多項式方程式によって、(SL(n,C))^m の閉部分集合として SL(n,C)-表現多様体を定義するアフィン代数幾何の枠組みを用いる。
• SL(n,C) の共役作用による商として特徴多様体を定義する。
• D(3,3,4) や A4 などの有限商への準同型を用いて、特徴多様体の成分を構成する。
• 高次のティヒュラー理論におけるポアンカリー座標と理想三角形分割を用いて、表現をパラメトライズする。
• ルボツキーとマジドの非還元的表現スキームに関する結果を応用し、幾何的複雑性を示す。
• von Dyck群 D(3,3,4) の特徴多様体をモデルとして用い、C^3 に埋め込まれた3次方程式で定義される2次元成分を有することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n ≥ 3 の場合に、よく研究されている SL(2,C) の場合と比較して、結び目群の SL(n,C)-表現および特徴多様体はどのように異なるか？
• RQ2 図8文字結び目群の SL(3,C)-特徴多様体の構造は何か？
• RQ3 D(3,3,4) や A4 のような有限商を経由する表現から生じる特徴多様体の成分はどれか？
• RQ4 メタアベリアン表現は特徴多様体の分解にどのように寄与するか？また、それらはスキーム的滑らかか？
• RQ5 ζ² − (νν̄ − 2)ζ + ν³ + ν̄³ − 5νν̄ + 5 = 0 で定義される超曲面と同型な成分の幾何的意味は何か？

主な発見

• 図8文字結び目群の SL(3,C)-特徴多様体は、ちょうど5つの既約成分を持つ：アーベリアン表現の1つ、既約 SL(2,C)-表現を経由する1つの族、および3つの既約表現の成分。
• 2つの成分 V₁ と V₂ は、方程式 ζ² − (νν̄ − 2)ζ + ν³ + ν̄³ − 5νν̄ + 5 = 0 で定義される C³ 内の超曲面と同型であり、パラメータ ν, ν̄, ζ は特定の群の元のトレースに対応する。
• 成分 V₀ は、特徴的な成分であり、Γ₄₁ → A₄ の上への準同型および A₄ の SL(3,C) 内の3次元既約表現から生じる。
• 超曲面成分内の3つの孤立点は、既約メタアベリアン表現のキャラクターに対応し、(ν, ν̄, ζ) = (2,2,1), (2ω,2ω²,1), (2ω²,2ω,1) に位置する。ここで ω = e²πi/3 である。
• すべてのメタアベリアンキャラクターは、先行研究によりスキーム的滑らかであることが示されている。
• 自動同型 h* の作用により、成分 V₁ と V₂ は入れ替わるが、V₀ は保存される。